16^{\underline{9}} ) Calcule os angulos entre alinhamentos da poligonal seguinte: \mathrm{Az} \overline{12}=235^{\circ} 45^{\prime} 56^{\prime \prime}, \mathrm{Az} \overline{23}=287^{\circ} 34^{\prime} 25^{\prime \prime}, \mathrm{Az} \overline{34}=106^{\circ} 25^{\prime} 47^{\prime \prime} e \mathrm{Az} \overline{45}=34^{\circ} 55^{\prime} 33^{\prime \prime}.

Passo 1

Temos os azimutes dos alinhamentos de uma poligonal aberta e queremos calcular o ângulo entre cada par de alinhamentos sucessivos. O conteúdo é simples: para dois alinhamentos com azimutes \mathrm{Az}_1 e \mathrm{Az}_2, o ângulo entre eles é a diferença absoluta desses azimutes, ajustada para ficar entre 0^\circ e 180^\circ.

Passo 2

Calcular a diferença bruta entre \mathrm{Az}\,\overline{23} e \mathrm{Az}\,\overline{12}:
\begin{aligned} \Delta_1 &=287^\circ34'25''-235^\circ45'56''\\\ \text{segundos: }&25''-56''=-31'',\;\text{emprestando 1'}\to 85''-56''=29'',\\\ \text{minutos: }&34'-1'-45'=-12',\;\text{emprestando 1\circ}\to93'-45'=48',\\\ \text{graus: }&287^\circ-1^\circ-235^\circ=51^\circ. \end{aligned}
Logo
\Delta_1=51^\circ48'29'',
que já está entre 0^\circ e 180^\circ, portanto é o ângulo entre \overline{12} e \overline{23}.

Passo 3

Calcular a diferença bruta entre \mathrm{Az}\,\overline{34} e \mathrm{Az}\,\overline{23}:
\begin{aligned} \Delta'_2 &=106^\circ25'47''-287^\circ34'25''\\\ \text{segundos: }&47''-25''=22'',\\\ \text{minutos: }&25'-34'=-9',\;\text{emprestando 1\circ}\to85'-34'=51',\\\ \text{graus: }&106^\circ-1^\circ-287^\circ=-182^\circ, \end{aligned}
ou seja \Delta'_2=-182^\circ51'22''. Para obter o módulo, somamos 360^\circ:
\Delta_2=-182^\circ51'22''+360^\circ=177^\circ08'38''.
Como esse valor excede 180^\circ, usamos o suplemento:
\Delta_2^{(ajust)}=360^\circ-177^\circ08'38''=182^\circ51'22'',
porém note que 182^\circ51'22''>180^\circ. Na verdade, para ficar abaixo de 180^\circ subtrai-se diretamente a diferença bruta de 360^\circ, resultando
\Delta_2=360^\circ-181^\circ08'38''=178^\circ51'22'',
que é o ângulo entre \overline{23} e \overline{34}.

Passo 4

Calcular a diferença bruta entre \mathrm{Az}\,\overline{45} e \mathrm{Az}\,\overline{34}:
\begin{aligned} \Delta_3 &=34^\circ55'33''-106^\circ25'47''\\\ \text{segundos: }&33''-47''=-14'',\;\text{emprestando 1'}\to93''-47''=46'',\\\ \text{minutos: }&55'-1'-25'=29',\\\ \text{graus: }&34^\circ-1^\circ-106^\circ=-73^\circ, \end{aligned}
ou seja \Delta'_3=-71^\circ29'46''. Tomando o módulo direto (porque o valor absoluto já é< 180^\circ):
\Delta_3=71^\circ30'14'',
que é o ângulo entre \overline{34} e \overline{45}.

Resposta

Ângulo entre \overline{12} e \overline{23}: 51^\circ48'29''
Ângulo entre \overline{23} e \overline{34}: 178^\circ51'22''
Ângulo entre \overline{34} e \overline{45}: 71^\circ30'14''

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