3-16 A vacuum gage connected to a tank reads 30 kPa at a location where the barometric reading is 755 mmHg . Determine the absolute pressure in the tank. Take \rho_{\mathrm{Hg}}=13,590 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Answer: 70.6 kPa

Passo 1

O enunciado pede: determinar a pressão absoluta no tanque. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\text{leitura do manômetro a vácuo} = 30\\ \text{kPa} \quad(\text{é um vácuo de }30\\ \text{kPa})ôáéá
\text{leitura barométrica} = 755\\ \text{mmHg}é
\rho_{\mathrm{Hg}} = 13\,590\\ \mathrm{kg/m^3}
Vou assumir o valor da gravidade como \,g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão). Observação importante que já tomo como correta sem te perguntar: a leitura do manômetro “30 kPa” é um vácuo relativo à pressão atmosférica, ou seja, a pressão no tanque está abaixo da pressão atmosférica em \,30\\ \text{kPa}. Portanto a relação que usaremos é
p_{\text{tanque, absoluto}} = p_{\text{atm}} - 30\\ \text{kPa}.
Agora vamos calcular p_{\text{atm}} a partir da leitura em milímetros de mercúrio.

Passo 2

Converter a leitura barométrica 755\\ \text{mmHg} em metros de mercúrio e usar a fórmula de pressão hidrostática. Primeiro converto milímetros para metros:
755\\ \text{mm} = 0{,}755\\ \text{m}.
A fórmula para pressão causada por uma coluna de fluido é
p = \rho g h,
onde:
  • \rho é a densidade do fluido (aqui \rho_{\mathrm{Hg}}=13{,}590\\ \mathrm{kg/m^3}),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}),
  • h é a altura da coluna ( 0{,}755\\ \mathrm{m}).
    Essa fórmula dá a pressão exercida pela coluna de mercúrio que corresponde à pressão atmosférica medida pelo barômetro.

Passo 3

Calcular \rho g passo a passo:
\rho g = 13{,}590\\ \mathrm{kg/m^3}\times 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Faço a multiplicação:
13{,}590\times 9{,}81 = 133\,311{,}9\\ \mathrm{(kg\,m^{-2}\,s^{-2})} = 133\,311{,}9\\ \mathrm{Pa/m}.
(Explicando a unidade: \mathrm{kg/(m^3)}\times\mathrm{m/s^2}=\mathrm{kg/(m^2\,s^2)}=\mathrm{Pa/m}, então multiplicando por h em metros dá Pascais.)

Passo 4

Agora multiplico por h=0{,}755\\ \mathrm{m} para obter a pressão atmosférica:
p_{\text{atm}} = 133\,311{,}9\\ \mathrm{Pa/m}\times 0{,}755\\ \mathrm{m}.
Faço a conta detalhada (dividindo em partes para facilitar sem calculadora): primeiro por 0{,}75 e depois por 0{,}005:
133\,311{,}9\times 0{,}75 = 99\,983{,}925\\ \mathrm{Pa},
133\,311{,}9\times 0{,}005 = 666{,}5595\\ \mathrm{Pa}.
Somando as partes:
p_{\text{atm}} = 99\,983{,}925 + 666{,}5595 = 100\,650{,}4845\\ \mathrm{Pa}.
Em quilopascais:
p_{\text{atm}} \approx 100{,}65\\ \text{kPa}.

Passo 5

Agora uso a relação entre pressão absoluta no tanque e pressão atmosférica dada pela leitura do manômetro a vácuo:
p_{\text{tanque}} = p_{\text{atm}} - 30\\ \text{kPa}.
Substituindo:
p_{\text{tanque}} = 100{,}65\\ \text{kPa} - 30{,}00\\ \text{kPa} = 70{,}65\\ \text{kPa}.

Passo 6

Análise final de arredondamento e interpretação: com a precisão dos dados (por exemplo, \rho_{\mathrm{Hg}} dado com 5 dígitos e leitura barométrica em 3 dígitos), faz sentido apresentar o resultado com três algarismos significativos. Arredondando:
p_{\text{tanque}} \approx 70{,}6\\ \text{kPa}.
Dica rápida: sempre identifique se o manômetro indica “vácuo” (valor abaixo da atmosfera) ou “pressão positiva” — aqui era vácuo, por isso subtraímos.

Resposta

70{,}6\\ \text{kPa}

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