3-15 Consider a 70-\mathrm{kg} woman who has a total foot imprint area of 400 \mathrm{~cm}^{2}. She wishes to walk on the snow, but the snow cannot withstand pressures greater than 0.5 kPa . Determine the minimum size of the snowshoes needed (imprint area per shoe) to enable her to walk on the snow without sinking.

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e o que pede:
Dados fornecidos: \;m=70\\ \mathrm{kg} (massa da mulher), \;A_{\text{pés}}=400\\ \mathrm{cm}^2é (área total das pegadas dos pés, conforme enunciado — estou a usar esse valor dado), e \;p_{\max}=0,5\\ \mathrm{kPa} (pressão máxima que a neve suporta; se a pressão do corpo for maior que isso, ela afunda).
O que se pede: determinar a área mínima de impressão por snowshoe (ou seja, a área de contato de cada snowshoe) para que a pressão sobre a neve não exceda \;p_{\max}.

Passo 2

Conceito importante e fórmula que vamos usar: pressão é força por unidade de área. A fórmula é
p=\frac{F}{A},
onde \;p é a pressão (em pascal, \mathrm{Pa}), \;F é a força normal (em newtons, \mathrm{N}) e \;A é a área de contato (em \mathrm{m}^2).
No nosso caso a força normal que a neve sente é o peso da mulher, isto é, \;F=mg, com \;g a aceleração da gravidade. Vou usar \;g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
Observação sobre unidades: \;1\\ \mathrm{kPa}=1000\\ \mathrm{Pa} e \;1\\ \mathrm{cm^2}=10^{-4}\\ \mathrm{m^2}. Para trabalhar com p em \mathrm{Pa} precisamos que A esteja em \mathrm{m^2}.

Passo 3

Calcular o peso (força) da mulher:
F=mg = 70\\ \mathrm{kg}\times 9,8\\ \mathrm{m/s^2} = 686\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Converter a área atual dos pés para \mathrm{m^2} só para comparar:
A_{\text{pés}} = 400\\ \mathrm{cm^2} = 400\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2} = 0,04\\ \mathrm{m^2}.é
Pressão que os pés atuais exercem (para ver que isso é insuficiente):
p=\frac{F}{A_{\text{pés}}}=\frac{686\\ \mathrm{N}}{0,04\\ \mathrm{m^2}}=17150\\ \mathrm{Pa}=17,150\\ \mathrm{kPa},é
que é muito maior que \;0,5\\ \mathrm{kPa}. Conclusão: com as botas normais (área total 400\\ \mathrm{cm^2}) ela afundaria.

Passo 5

Agora calculamos a área total de contato necessária para que a pressão seja no máximo \;p_{\max}=0,5\\ \mathrm{kPa}=500\\ \mathrm{Pa}. Usando \;A=\dfrac{F}{p}:
A_{\text{total}}=\frac{F}{p_{\max}}=\frac{686\\ \mathrm{N}}{500\\ \mathrm{Pa}}=1,372\\ \mathrm{m^2}.
Converter para \mathrm{cm^2}:
A_{\text{total}}=1,372\\ \mathrm{m^2}=1,372\times 10^{4}\\ \mathrm{cm^2}=13720\\ \mathrm{cm^2}.

Passo 6

Como ela tem duas snowshoes (uma para cada pé), a área mínima por snowshoe é metade da área total:
A_{\text{por\\ shoe}}=\frac{A_{\text{total}}}{2}=\frac{1,372\\ \mathrm{m^2}}{2}=0,686\\ \mathrm{m^2}.
Em \mathrm{cm^2}:
A_{\text{por\\ shoe}}=0,686\\ \mathrm{m^2}=6860\\ \mathrm{cm^2}.

Passo 7

Verificação rápida: com duas snowshoes de 0,686\\ \mathrm{m^2} cada, a pressão fica
p=\frac{686\\ \mathrm{N}}{2\times 0,686\\ \mathrm{m^2}}=\frac{686}{1,372}=500\\ \mathrm{Pa}=0,5\\ \mathrm{kPa},
exatamente o limite permitido — logo esta é a área mínima por snowshoe.

Resposta

A_{\text{por shoe}}=0,686\\ \mathrm{m^2}
A_{\text{por shoe}}=6860\\ \mathrm{cm^2}

Exercícios relacionados