13.175 Um bloco B de 1,5 \mathrm{~kg} está preso a uma mola indeformada de constante k=80 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e repousa sobre uma superfície horizontal sem atrito, quando é atingido por um bloco A idêntico movendo-se a uma velocidade de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considerando, sucessivamente, os casos em que o coeficiente de restituição entre os dois blocos é (1) e=1, (2) e=0, determine (a) a deflexão máxima da mola, (b) a velocidade final do bloco A.

Passo 1

O enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem):
  • Dois blocos idênticos com massa m=1,5\\ \mathrm{kg}.
  • Constante da mola k=80\\ \mathrm{N/m}.
  • O bloco B está inicialmente em repouso encostado na mola indefinida (mola sem deformação inicial).
  • O bloco A move-se na direção da mola com velocidade inicial u_A=5\\ \mathrm{m/s} (seta apontando para a esquerda na figura). O bloco B tem u_B=0.
  • Superfície sem atrito.
O enunciado pede, para os dois casos de coeficiente de restituição entre A e B (1) e=1 e (2) e=0:
(a) a deflexão máxima da mola (compressão máxima) e
(b) a velocidade final do bloco A.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicação didática):
  • Conservação do momento linear durante a colisão instantânea entre A e B: em ausência de forças externas impulsivas durante o choque entre os blocos, vale
m u_A + m u_B = m v_A + m v_B,
onde u são velocidades antes do choque e v são velocidades imediatamente depois do choque. Aqui u_B=0.
  • Coeficiente de restituição e (definição física, medida de “elasticidade” da colisão): é a razão entre a velocidade relativa de separação e a velocidade relativa de aproximação:
e=\frac{v_B - v_A}{u_A - u_B}.
Significado: se e=1 colisão perfeitamente elástica (sem perda de energia na colisão), se e=0 colisão perfeitamente inelástica (velocidade relativa final é zero — os blocos saem juntos imediatamente após o choque).
  • Podemos usar as duas equações acima para obter v_A e v_B logo após a colisão. Com u_B=0 e massas iguais m:
    a partir da conservação do momento
u_A = v_A + v_B,
e da definição de e
e = \frac{v_B - v_A}{u_A}.
Estas duas equações formam um sistema linear para v_A e v_B. Vou resolver esse sistema nas próximas etapas e aplicar e=1 e e=0.

Passo 3

Resolver o sistema geral para v_A\) e \(v_B\) (passo algébrico detalhado): Temos \[\begin{cases} v_A + v_B = u_A,\\[4pt] v_B - v_A = e\,u_A. \end{cases}
Somando as duas equações:
2v_B = (1+e)u_A \quad\Rightarrow\quad v_B = \frac{1+e}{2}\,u_A.
Subtraindo a segunda da primeira (ou resolvendo para v_A\]): \[2v_A = (1-e)u_A \quad\Rightarrow\quad v_A = \frac{1-e}{2}\,u_A.\] Essas fórmulas valem para massas iguais e \(u_B=0. Agora aplicamos cada caso.]

Passo 4

Caso (1): e=1 (colisão perfeitamente elástica).
Substituindo e=1 nas fórmulas:
v_B = \frac{1+1}{2}\,u_A = \frac{2}{2}\,u_A = u_A = 5\\ \mathrm{m/s},
v_A = \frac{1-1}{2}\,u_A = 0\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação física curta: massas idênticas trocam velocidades numa colisão elástica — A pára e B segue com 5\\ \mathrm{m/s} em direção à mola.
Agora calcular a deflexão máxima da mola. Depois da colisão, o bloco B (massa m) tem velocidade v_B=5\\ \mathrm{m/s} e vai comprimir a mola até converter toda sua energia cinética em energia potencial elástica (supondo que durante a compressão não haja perdas). Portanto:
\frac{1}{2}m v_B^{2}=\frac{1}{2}k x_{\max}^{2},
onde x_{\max} é a compressão máxima. Isolando x_{\max}:
x_{\max}=v_B\sqrt{\frac{m}{k}}.
Substituindo numericamente ( v_B=5\\ \mathrm{m/s}, m=1,5\\ \mathrm{kg}, k=80\\ \mathrm{N/m}):
x_{\max}=5\sqrt{\frac{1,5}{80}}=5\sqrt{0,01875}.
Calcule a raiz: \sqrt{0,01875}\approx 0,13693. Então
x_{\max}\approx 5\times 0,13693 \approx 0,6847\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente: x_{\max}\approx 0,685\\ \mathrm{m}.
A velocidade final do bloco A neste caso é a que já encontramos logo após a colisão: v_A=0\\ \mathrm{m/s}. Após isso A fica parado (não há nova interação com B porque B foi para a esquerda em direção à mola).

Passo 5

Caso (2): e=0 (colisão perfeitamente inelástica).
Usando as fórmulas gerais:
v_B = \frac{1+0}{2}\,u_A = \frac{1}{2}\,u_A = \frac{1}{2}\times 5 = 2,5\\ \mathrm{m/s},
v_A = \frac{1-0}{2}\,u_A = \frac{1}{2}\,u_A = 2,5\\ \mathrm{m/s}.
Com e=0 os dois blocos saem juntos com a mesma velocidade 2,5\\ \mathrm{m/s} (movendo-se para a esquerda imediatamente após o choque).
Para a compressão máxima da mola: agora ambos os blocos (massa total 2m) movem-se juntos com velocidade v'=2,5\\ \mathrm{m/s} em direção à mola; a energia cinética total imediatamente após a colisão é
K=\tfrac{1}{2}(2m)v'^{2}.
Essa energia é convertida em energia elástica da mola na máxima compressão:
\frac{1}{2}k x_{\max}^{2}=\frac{1}{2}(2m)v'^{2}.
Simplificando:
k x_{\max}^{2} = 2m v'^{2}\quad\Rightarrow\quad x_{\max} = v'\sqrt{\frac{2m}{k}}.
Substituindo v'=2,5\\ \mathrm{m/s}, m=1,5\\ \mathrm{kg}, k=80\\ \mathrm{N/m}:
x_{\max}=2,5\sqrt{\frac{2\times 1,5}{80}}=2,5\sqrt{\frac{3}{80}}=2,5\sqrt{0,0375}.
Calcule a raiz: \sqrt{0,0375}\approx 0,19365. Então
x_{\max}\approx 2,5\times 0,19365 \approx 0,4841\\ \mathrm{m}.
Arredondando: x_{\max}\approx 0,484\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Determinar a velocidade final do bloco A no caso e=0 (após toda a interação com a mola, quando o sistema já evoluiu o suficiente).
Raciocínio físico (passo a passo e didático):
  • Após a colisão inelástica inicial, ambos os blocos vão para a esquerda com 2,5\\ \mathrm{m/s} e comprimem a mola, convertendo sua energia cinética em energia potencial elástica.
  • No ponto de compressão máxima ambos têm velocidade instantânea zero.
  • A mola então empurra para fora convertendo a energia elástica de volta em energia cinética. Como não há perdas (salvo a perda inicial na colisão, que já ocorreu), quando a mola retorna à sua posição de repouso ela devolve a energia disponível fazendo os blocos saírem para a direita com a mesma energia cinética que tinham ao iniciar a compressão (mas agora com sentido oposto).
  • Portanto, após a primeira oscilação completa da mola, os blocos movem-se juntos para a direita com velocidade 2,5\\ \mathrm{m/s}. Não há outra colisão entre A e B nesse processo porque eles permanecem em contato e mantêm a mesma velocidade.
    Logo, a velocidade final do bloco A, depois de toda a interação com a mola, é
v_A = 2,5\\ \mathrm{m/s}\\ \text{(para a direita)}.

Resposta

Caso e=1: x_{\max}=0,685\\ \mathrm{m}
Caso e=1: v_A=0\\ \mathrm{m/s}
Caso e=0: x_{\max}=0,484\\ \mathrm{m}
Caso e=0: v_A=2,5\\ \mathrm{m/s}\\ \text{(direção para a direita)}çã

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