13.175 Um bloco
de
está preso a uma mola indeformada de constante
e repousa sobre uma superfície horizontal sem atrito, quando é atingido por um bloco
idêntico movendo-se a uma velocidade de
. Considerando, sucessivamente, os casos em que o coeficiente de restituição entre os dois blocos é (1)
, (2)
, determine (a) a deflexão máxima da mola,
a velocidade final do bloco
.
Passo 1
O enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem):
- Dois blocos idênticos com massa
. - Constante da mola
. - O bloco
está inicialmente em repouso encostado na mola indefinida (mola sem deformação inicial). - O bloco
move-se na direção da mola com velocidade inicial (seta apontando para a esquerda na figura). O bloco tem . - Superfície sem atrito.
O enunciado pede, para os dois casos de coeficiente de restituição entre
e
(1)
e (2)
:
(a) a deflexão máxima da mola (compressão máxima) e
(b) a velocidade final do bloco .
(a) a deflexão máxima da mola (compressão máxima) e
(b) a velocidade final do bloco
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais (explicação didática):
- Conservação do momento linear durante a colisão instantânea entre
e : em ausência de forças externas impulsivas durante o choque entre os blocos, vale
onde
são velocidades antes do choque e
são velocidades imediatamente depois do choque. Aqui
.
- Coeficiente de restituição
(definição física, medida de “elasticidade” da colisão): é a razão entre a velocidade relativa de separação e a velocidade relativa de aproximação:
Significado: se
colisão perfeitamente elástica (sem perda de energia na colisão), se
colisão perfeitamente inelástica (velocidade relativa final é zero — os blocos saem juntos imediatamente após o choque).
- Podemos usar as duas equações acima para obter
e logo após a colisão. Com e massas iguais :
a partir da conservação do momento
e da definição de
Estas duas equações formam um sistema linear para
e
. Vou resolver esse sistema nas próximas etapas e aplicar
e
.
Passo 3
Resolver o sistema geral para
Somando as duas equações:
Subtraindo a segunda da primeira (ou resolvendo para
. Agora aplicamos cada caso.]
Passo 4
Caso (1):
(colisão perfeitamente elástica).
Substituindo nas fórmulas:
Substituindo
Interpretação física curta: massas idênticas trocam velocidades numa colisão elástica —
pára e
segue com
em direção à mola.
Agora calcular a deflexão máxima da mola. Depois da colisão, o bloco
(massa
) tem velocidade
e vai comprimir a mola até converter toda sua energia cinética em energia potencial elástica (supondo que durante a compressão não haja perdas). Portanto:
onde
é a compressão máxima. Isolando
:
Substituindo numericamente (
,
,
):
Calcule a raiz:
. Então
Arredondando razoavelmente:
.
A velocidade final do bloco
neste caso é a que já encontramos logo após a colisão:
. Após isso
fica parado (não há nova interação com
porque
foi para a esquerda em direção à mola).
Passo 5
Caso (2):
(colisão perfeitamente inelástica).
Usando as fórmulas gerais:
Usando as fórmulas gerais:
Com
os dois blocos saem juntos com a mesma velocidade
(movendo-se para a esquerda imediatamente após o choque).
Para a compressão máxima da mola: agora ambos os blocos (massa total
) movem-se juntos com velocidade
em direção à mola; a energia cinética total imediatamente após a colisão é
Essa energia é convertida em energia elástica da mola na máxima compressão:
Simplificando:
Substituindo
,
,
:
Calcule a raiz:
. Então
Arredondando:
.
Passo 6
Determinar a velocidade final do bloco
no caso
(após toda a interação com a mola, quando o sistema já evoluiu o suficiente).
Raciocínio físico (passo a passo e didático):
Raciocínio físico (passo a passo e didático):
- Após a colisão inelástica inicial, ambos os blocos vão para a esquerda com
e comprimem a mola, convertendo sua energia cinética em energia potencial elástica. - No ponto de compressão máxima ambos têm velocidade instantânea zero.
- A mola então empurra para fora convertendo a energia elástica de volta em energia cinética. Como não há perdas (salvo a perda inicial na colisão, que já ocorreu), quando a mola retorna à sua posição de repouso ela devolve a energia disponível fazendo os blocos saírem para a direita com a mesma energia cinética que tinham ao iniciar a compressão (mas agora com sentido oposto).
- Portanto, após a primeira oscilação completa da mola, os blocos movem-se juntos para a direita com velocidade
. Não há outra colisão entre e nesse processo porque eles permanecem em contato e mantêm a mesma velocidade.
Logo, a velocidade final do bloco, depois de toda a interação com a mola, é
Resposta
Caso
:
Caso :
Caso
Caso
:
Caso :
Caso