( ) 169. A dedução de Planck da distribuição de intensidades de um corpo negro é uma das mais importantes descobertas da física quântica. Como a radiação emitida se comporta em relação ao comprimento de onda? E em relação à temperatura da superfície?
Passo 1
O enunciado pergunta como a distribuição espectral de radiação de um corpo negro, deduzida por Planck, varia (1) com o comprimento de onda
e (2) com a temperatura da superfície
. Para responder precisamos usar a fórmula da lei de Planck, analisar seus limites (Wien e Rayleigh–Jeans), empregar a lei do deslocamento de Wien e a lei de Stefan–Boltzmann.
Passo 2
A lei de Planck para a radiância espectral (potência emitida por unidade de área, ângulo sólido e comprimento de onda) é
onde
é a constante de Planck,
a velocidade da luz e
a constante de Boltzmann.
Passo 3
Analisando os limites em função de
:
- Para
o argumento da exponencial fica grande, de modo que (limite de Wien). - Para
podemos usar a expansão , obtendo (limite de Rayleigh–Jeans).
Isso mostra quecresce desde zero, atinge um pico e depois decai como .
Passo 4
O pico da distribuição satisfaz
, o que leva à lei do deslocamento de Wien:
Ou seja, à medida que
aumenta, o comprimento de onda onde a emissão é máxima desloca-se para valores menores.
Passo 5
Integrando
em todos os
obtém-se a potência total radiada por unidade de área, resultando na lei de Stefan–Boltzmann:
onde
é a constante de Stefan–Boltzmann. Assim, a emissão total cresce fortemente com
.
Resposta
Em função de
, a radiância espectral
segue a lei de Planck, cresce desde zero, atinge um pico e depois decai exponencialmente em
e como
em
. O comprimento de onda do pico satisfaz
(lei de Wien), ou seja, o pico desloca-se para comprimentos de onda menores quando
aumenta. Em relação à temperatura, a altura do espectro cresce e a potência total irradiada por unidade de área é proporcional a
(lei de Stefan–Boltzmann).