( ) 169. A dedução de Planck da distribuição de intensidades de um corpo negro é uma das mais importantes descobertas da física quântica. Como a radiação emitida se comporta em relação ao comprimento de onda? E em relação à temperatura da superfície?

Passo 1

O enunciado pergunta como a distribuição espectral de radiação de um corpo negro, deduzida por Planck, varia (1) com o comprimento de onda \lambda e (2) com a temperatura da superfície T. Para responder precisamos usar a fórmula da lei de Planck, analisar seus limites (Wien e Rayleigh–Jeans), empregar a lei do deslocamento de Wien e a lei de Stefan–Boltzmann.

Passo 2

A lei de Planck para a radiância espectral (potência emitida por unidade de área, ângulo sólido e comprimento de onda) é
B(\lambda,T) \;=\; \frac{2\,h\,c^{2}}{\lambda^{5}}\;\frac{1}{\exp\!\bigl(\tfrac{h\,c}{\lambda\,k_{B}\,T}\bigr)\;-\;1}\,,
onde h é a constante de Planck, c a velocidade da luz e k_{B} a constante de Boltzmann.

Passo 3

Analisando os limites em função de \lambda:
  • Para \lambda\to0 o argumento da exponencial fica grande, de modo que B(\lambda,T)\approx \frac{2\,h\,c^{2}}{\lambda^{5}}\,e^{-\,\frac{h\,c}{\lambda\,k_{B}\,T}}\;\longrightarrow\;0(limite de Wien).
  • Para \lambda\to\infty podemos usar a expansão \exp(x)\approx1+x, obtendo B(\lambda,T)\approx \frac{2\,c\,k_{B}\,T}{\lambda^{4}}(limite de Rayleigh–Jeans).
    Isso mostra que B(\lambda,T) cresce desde zero, atinge um pico e depois decai como \lambda^{-4}.

Passo 4

O pico da distribuição satisfaz \frac{\partial B}{\partial \lambda}=0, o que leva à lei do deslocamento de Wien:
\lambda_{\max}\,T = b\approx 2{,}898\times10^{-3}\,\mathrm{m\cdot K}.
Ou seja, à medida que T aumenta, o comprimento de onda onde a emissão é máxima desloca-se para valores menores.

Passo 5

Integrando B(\lambda,T) em todos os \lambda obtém-se a potência total radiada por unidade de área, resultando na lei de Stefan–Boltzmann:
j^\star \;=\;\int_{0}^{\infty}B(\lambda,T)\,d\lambda \;=\;\sigma\,T^{4},
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann. Assim, a emissão total cresce fortemente com T.

Resposta

Em função de \lambda, a radiância espectral B(\lambda,T) segue a lei de Planck, cresce desde zero, atinge um pico e depois decai exponencialmente em \lambda\to0 e como \lambda^{-4} em \lambda\to\infty. O comprimento de onda do pico satisfaz \lambda_{\max}T=b (lei de Wien), ou seja, o pico desloca-se para comprimentos de onda menores quando T aumenta. Em relação à temperatura, a altura do espectro cresce e a potência total irradiada por unidade de área é proporcional a T^{4} (lei de Stefan–Boltzmann).

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