Em uma instalação de ar-condicionado, uma vazão de 45 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min} é desejada. A tubulação empregada é feita por chapas \left(\frac{\varepsilon}{D}=0,0002\right) com diâmetro de 0,25 \mathrm{~m}. Considere um comprimento de 30 m , a massa específica do ar igual a 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e a viscosidade absoluta seja \mu=18 \times 10^{-6} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s}. Determine: (a) o número de Reynolds, (b) o fator de atrito e (c) a perda de carga.

Passo 1

O enunciado dá vazão volumétrica Q=45\\ \mathrm{m^3/min}, diâmetro interno D=0,25\\ \mathrm m, rugosidade relativa \varepsilon/D=0{,}0002, comprimento L=30\\ \mathrm m, densidade \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3} e viscosidade \mu=18\times10^{-6}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.
Vamos precisar de três conteúdos:
  1. Conversão de vazão para velocidade e cálculo do número de Reynolds \mathrm{Re}.
  2. Uso da equação de Colebrook para obter o fator de atrito f em escoamento turbulento em tubo rugoso.
  3. Cálculo da perda de carga (head loss) via a fórmula de Darcy–Weisbach.

Passo 2

Primeiro convertemos Q para \mathrm{m^3/s} e calculamos a velocidade média V.
Q = 45\\ \mathrm{m^3/min} = \frac{45}{60}\\ \mathrm{m^3/s} = 0{,}75\\ \mathrm{m^3/s}
A área da seção é
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}25)^2}{4} \approx 0{,}04909\\ \mathrm{m^2},
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V = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}75}{0{,}04909} \approx 15{,}28\\ \mathrm{m/s}.
O número de Reynolds fica
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,V\,D}{\mu} = \frac{1{,}2 \times 15{,}28 \times 0{,}25}{18\times10^{-6}} \approx 2{,}55\times10^5.

Passo 3

Para um escoamento turbulento em tubo rugoso usamos a equação implícita de Colebrook:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2{,}0\,\log_{10}\!\Biggl(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7} \;+\;\frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\,\sqrt{f}}\Biggr).
Substituindo \varepsilon/D=0{,}0002 e \mathrm{Re}=2{,}55\times10^5 e resolvendo iterativamente, encontra-se
f \approx 0{,}017.

Passo 4

A perda de carga (em metros de coluna de fluido) segundo Darcy–Weisbach é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2\,g},
tomando g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. Assim,
h_f = 0{,}017\;\frac{30}{0{,}25}\;\frac{15{,}28^2}{2\times9{,}81} \approx 23{,}7\\ \mathrm m.
Em termos de queda de pressão \Delta p=\rho\,g\,h_f,
\Delta p = 1{,}2\times9{,}81\times23{,}7\approx 280\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

(a) \mathrm{Re}\approx 2{,}55\times10^5.
(b) f\approx 0{,}017.
(c) perda de carga h_f\approx 23{,}7\\ \mathrm m (ou \Delta p\approx 280\\ \mathrm{Pa}).

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