Exemplo

\square Em um estudo de decomposição da hidrazina num leito recheado de catalisador de irídio suportado sobre alumina, uma mistura de 2% de hidrazina e 98% de hélio deverá ser passada por um leito empacotado com partículas cilíndricas de 0,25 \mathrm{~cm} de diâmetro e 0,5 \mathrm{~cm} de comprimento, com a fase gasosa numa velocidade de 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a uma temperatura de 750 K . A viscosidade cinemática do hélio nesta temperatura é 4,5 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. Acredita-se que a reação de decomposição da hidrazina seja limitada pela transferência de massa externa nestas condições. Se o leito recheado mede 5 cm de comprimento, que conversão pode ser esperada? Assuma operação isobárico. Informação adicional:
D_{A B}=0,69 \times 10^{-4} \frac{\mathrm{~m}^{2}}{\mathrm{~s}} a 298 \mathrm{~K}
\square Porosidade do leito: 30%

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma mistura gasosa contendo 2\% de hidrazina em hélio que escoa a 15\\ \mathrm{m/s} (velocidade superficial) por um leito empacotado de partículas cilíndricas de diâmetro d=0,25\\ \mathrm{cm} e comprimento L_p=0,5\\ \mathrm{cm}, a 750\\ \mathrm{K}. A porosidade do leito é 30\%. A decomposição da hidrazina é limitada pela transferência de massa externa, e o leito tem comprimento total L=5\\ \mathrm{cm}. O objetivo é estimar a conversão X da hidrazina ao longo do leito, usando corrrelações de película gasosa e o modelo de reator pistão (PFR).
Para resolver, iremos:
  1. Calcular números adimensionais \mathrm{Re} e \mathrm{Sc}.
  2. Usar correlação de Sherwood \mathrm{Sh} para cilindros em leito empacotado.
  3. Obter o coeficiente de transferência de massa k_g.
  4. Calcular a área de troca de massa por volume de reator a.
  5. Montar o balanço de material em PFR sob regime de transferência de massa externa e integrar para achar X.

Passo 2

Cálculo de \mathrm{Re} e \mathrm{Sc}:
\displaystyle d = 0,25\\ \mathrm{cm}=2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
\displaystyle \nu = 4{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s},
\displaystyle D_{AB} = 0{,}69\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s},
\displaystyle u_0 = 15\\ \mathrm{m/s} (velocidade superficial).
\displaystyle \mathrm{Re} = \frac{u_0\,d}{\nu} = \frac{15\times2{,}5\times10^{-3}}{4{,}5\times10^{-4}} \approx 83{,}3.
\displaystyle \mathrm{Sc} = \frac{\nu}{D_{AB}} = \frac{4{,}5\times10^{-4}}{0{,}69\times10^{-4}} \approx 65{,}2.

Passo 3

Correlação de Sherwood para escoamento em torno de cilindros em leito empacotado (filme gasoso turbulento-moderado):
\mathrm{Sh} = 2 + 0{,}6\,\mathrm{Re}^{1/2}\,\mathrm{Sc}^{1/3}.
Calculando:
\displaystyle \mathrm{Re}^{1/2}\approx9{,}13,\quad \mathrm{Sc}^{1/3}\approx4{,}02,
\mathrm{Sh} = 2 + 0{,}6\times9{,}13\times4{,}02 \approx 2 + 22{,}0 = 24{,}0.

Passo 4

Coeficiente de transferência de massa k_g:
k_g = \frac{\mathrm{Sh}\,D_{AB}}{d} = \frac{24{,}0 \times 0{,}69\times10^{-4}}{2{,}5\times10^{-3}} \approx 0{,}66\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Área de superfície de troca por volume de leito a para cilindros:
volume de uma partícula \,V_p = \pi \tfrac{d^2}{4}L_p,
área de uma partícula \,S_p = \pi d\,L_p + 2\pi\tfrac{d^2}{4} = \pi d\bigl(L_p+\tfrac{d}{2}\bigr).
Logo, área específica
\frac{S_p}{V_p} = \frac{\pi d\,(L_p + \tfrac{d}{2})}{\pi\,\tfrac{d^2}{4}\,L_p} = \frac{4\,(L_p + \tfrac{d}{2})}{d\,L_p}.
Substituindo L_p=0{,}5\\ \mathrm{cm}=5\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e d=2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}:
\,(L_p + d/2)=0{,}00625\\ \mathrm{m},
\frac{S_p}{V_p} = 4\times\frac{0{,}00625}{(2{,}5\times10^{-3})(5\times10^{-3})} = 2000\\ \mathrm{m^2/m^3}.
Considerando a fração sólida (1-\varepsilon)=0,7,
a = (1-\varepsilon)\,\frac{S_p}{V_p} = 0{,}7\times2000 = 1400\\ \mathrm{m^2/m^3}.

Passo 6

Balanço de matéria na modalidade PFR limitado por transferência de massa externa:
em regime estacionário,
u_0\frac{dC_A}{dz} = -k_g\,a\,C_A,
onde C_A é concentração de hidrazina no fluido.

Passo 7

Integração de z=0 a z=L
\int_{C_{A0}}^{C_A} \frac{dC_A}{C_A} = -\frac{k_g\,a}{u_0}\int_{0}^{L}dz \;\Rightarrow\; \ln\frac{C_A}{C_{A0}} = -\frac{k_g\,a\,L}{u_0}.
Chamada conversão X = 1 - \tfrac{C_A}{C_{A0}}, temos
\frac{C_A}{C_{A0}} = \exp\Bigl(-\tfrac{k_g\,a\,L}{u_0}\Bigr),
com k_g a =0{,}66\times1400=927{,}6\\ \mathrm{s^{-1}}, L=0{,}05\\ \mathrm{m}, u_0=15\\ \mathrm{m/s}:
\frac{k_g\,a\,L}{u_0} = \frac{927{,}6\times0{,}05}{15} \approx 3{,}09,
\frac{C_A}{C_{A0}} = e^{-3{,}09}\approx0{,}0455,
X = 1 - 0{,}0455 = 0{,}9545 \approx 95{,}5\%.

Resposta

A conversão esperada da hidrazina no leito de 5\\ \mathrm{cm} é aproximadamente 95,5%.

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