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Um sistema de entrada única e saída única apresenta as equações matriciais x=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -3 & -4\end{array}\right] x+\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1\end{array}\right] u
e
y=\left[\begin{array}{ll}10 & 0\end{array}\right] x.
Determinar a função de transferência \mathrm{G}(\mathrm{s})=\mathrm{Y}(\mathrm{s}) / \mathrm{U}(\mathrm{s}).
Passo 1
O enunciado dá as equações de um sistema de entrada única e saída única na forma de espaço de estados e pede a função de transferência \mathrm{G}(s)=\mathrm{Y}(s)/\mathrm{U}(s). As informações dadas são:
A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\\\ -3 & -4\end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix}0 \\\\ 1\end{bmatrix}, \qquad C = \begin{bmatrix}10 & 0\end{bmatrix}.
Não foi dado um termo direto D, então assumimos D=\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}. A pergunta é: determinar \mathrm{G}(s)=\dfrac{\mathrm{Y}(s)}{\mathrm{U}(s)}.
Passo 2
Fórmula geral: para um sistema no espaço de estados com matrizes A,B,C,D (SISO ou MIMO), a função de transferência em s é dada por
\mathrm{G}(s) = C\,(sI - A)^{-1} B + D.
Explicando cada símbolo:
s é a variável complexa do domínio de Laplace.
I é a matriz identidade de mesma dimensão que A.
sI - A é a matriz que aparece quando aplicamos transformada de Laplace nas equações de estado.
(sI - A)^{-1} é a inversa dessa matriz (se existir), e multiplica B para ligar a entrada à dinâmica interna.
C transforma o estado (resultado do produto) na saída.
D é o ganho direto da entrada para a saída (aqui D=0).
Passo 3
Vamos construir (sI - A). A matriz identidade I de ordem 2 é \begin{bmatrix}1&0\\\ 0&1\end{bmatrix}, então
Aqui a=s, b=-1, c=3, d=s+4. Calculamos o determinante:
\det(sI-A) = s(s+4) - (-1)\cdot 3 = s^2 + 4s + 3.
Observação: esse polinômio do determinante é o polinômio característico de A com sinal trocado em s, e aparecerá no denominador da função de transferência.