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Um sistema de entrada única e saída única apresenta as equações matriciais
x=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -3 & -4\end{array}\right] x+\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1\end{array}\right] u
e
y=\left[\begin{array}{ll}10 & 0\end{array}\right] x.
Determinar a função de transferência \mathrm{G}(\mathrm{s})=\mathrm{Y}(\mathrm{s}) / \mathrm{U}(\mathrm{s}).

Passo 1

O enunciado dá as equações de um sistema de entrada única e saída única na forma de espaço de estados e pede a função de transferência \mathrm{G}(s)=\mathrm{Y}(s)/\mathrm{U}(s). As informações dadas são:
A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\\\ -3 & -4\end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix}0 \\\\ 1\end{bmatrix}, \qquad C = \begin{bmatrix}10 & 0\end{bmatrix}.
Não foi dado um termo direto D, então assumimos D=\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}. A pergunta é: determinar \mathrm{G}(s)=\dfrac{\mathrm{Y}(s)}{\mathrm{U}(s)}.

Passo 2

Fórmula geral: para um sistema no espaço de estados com matrizes A,B,C,D (SISO ou MIMO), a função de transferência em s é dada por
\mathrm{G}(s) = C\,(sI - A)^{-1} B + D.
Explicando cada símbolo:
  • s é a variável complexa do domínio de Laplace.
  • I é a matriz identidade de mesma dimensão que A.
  • sI - A é a matriz que aparece quando aplicamos transformada de Laplace nas equações de estado.
  • (sI - A)^{-1} é a inversa dessa matriz (se existir), e multiplica B para ligar a entrada à dinâmica interna.
  • C transforma o estado (resultado do produto) na saída.
  • D é o ganho direto da entrada para a saída (aqui D=0).

Passo 3

Vamos construir (sI - A). A matriz identidade I de ordem 2 é \begin{bmatrix}1&0\\\ 0&1\end{bmatrix}, então
sI - A = \begin{bmatrix}s & 0 \\\\ 0 & s\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}0 & 1 \\\\ -3 & -4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}s & -1 \\\\ 3 & s+4\end{bmatrix}.

Passo 4

Para calcular (sI-A)^{-1} usamos a fórmula da inversa de uma matriz 2\times2. Se
M=\begin{bmatrix}a & b \\\ c & d\end{bmatrix},
então, se \det(M)=ad-bc \neq 0,
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{bmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{bmatrix}.
Aqui a=s, b=-1, c=3, d=s+4. Calculamos o determinante:
\det(sI-A) = s(s+4) - (-1)\cdot 3 = s^2 + 4s + 3.
Observação: esse polinômio do determinante é o polinômio característico de A com sinal trocado em s, e aparecerá no denominador da função de transferência.

Passo 5

Aplicando a fórmula da inversa:
(sI-A)^{-1} = \frac{1}{s^2+4s+3}\begin{bmatrix}s+4 & 1 \\\\ -3 & s\end{bmatrix}.

Passo 6

Agora multiplicamos (sI-A)^{-1} por B. Lembre que
B=\begin{bmatrix}0\\\ 1\end{bmatrix}.
Então
(sI-A)^{-1}B = \frac{1}{s^2+4s+3} \begin{bmatrix}s+4 & 1 \\\\ -3 & s\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0\\\ 1\end{bmatrix} = \frac{1}{s^2+4s+3}\begin{bmatrix}1\\\ s\end{bmatrix}.
Fizemos a multiplicação de matriz-por-vetor: primeira componente (s+4)\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1; segunda componente -3\cdot 0 + s\cdot 1 = s.

Passo 7

Multiplicamos pela matriz C à esquerda e somamos D (que é zero). Como
C = \begin{bmatrix}10 & 0\end{bmatrix},
temos
\mathrm{G}(s) = C\,(sI-A)^{-1}B + D = \begin{bmatrix}10 & 0\end{bmatrix} \left(\frac{1}{s^2+4s+3}\begin{bmatrix}1\\\ s\end{bmatrix}\right) + 0.
Calcule o produto linha-por-coluna:
\begin{bmatrix}10 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\\ s\end{bmatrix} = 10\cdot 1 + 0\cdot s = 10.
Portanto
\mathrm{G}(s) = \frac{10}{s^2+4s+3}.

Passo 8

Podemos fatorar o denominador para ver polos explicitamente:
s^2+4s+3 = (s+1)(s+3).
Então uma forma alternativa é
\mathrm{G}(s) = \frac{10}{(s+1)(s+3)}.

Resposta

\displaystyle \mathrm{G}(s)=\frac{10}{s^{2}+4s+3}=\frac{10}{(s+1)(s+3)}

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