18-) (B 5.20 - pág 243)
Determine o intervalo de valores de K para a estabilidade do sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja:
G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o intervalo de valores de K para que o sistema em realimentação unitária com função de malha aberta
G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}
seja estável (ou seja, todos os polos do laço fechado com parte real negativa).
Informações dadas:
G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}.
Realimentação unitária significa que a equação característica do sistema em malha fechada é 1+G(s)=0. Não há figura faltando nem dados adicionais.

Passo 2

Vamos escrever a equação característica do laço fechado explicitamente. Para realimentação unitária:
1+G(s)=0 \quad\Rightarrow\quad 1+\frac{K}{s(s+1)(s+2)}=0.
Multiplicando ambos os lados por s(s+1)(s+2) obtemos o polinômio característico:
s(s+1)(s+2)+K=0.
Agora desenvolvemos s(s+1)(s+2).

Passo 3

Expandindo o produto:
s(s+1)(s+2)=s(s^2+3s+2)=s^3+3s^2+2s.
Portanto o polinômio característico (colocando todos os termos no LHS) é
s^3+3s^2+2s+K=0.
Chamando os coeficientes no formato usual s^3+a_2 s^2+a_1 s+a_0, temos a_2=3, a_1=2, a_0=K.

Passo 4

Para verificar estabilidade (todas as raízes com parte real negativa) usamos o critério de Routh–Hurwitz. Vou explicar como montar o array de Routh para um polinômio cúbico e o que cada elemento representa.
Dado um polinômio
s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0,
o array de Routh é construído assim (cada linha corresponde a um grau de s):
\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & a_1\\[3pt] s^2 & a_2 & a_0\\[3pt] s^1 & b_1 & 0\\[3pt] s^0 & a_0 & \end{array}
onde
b_1=\frac{a_2\cdot a_1 - 1\cdot a_0}{a_2}.
A condição de estabilidade é que todos os elementos da primeira coluna do array sejam estritamente positivos.
Agora aplicamos aos nossos coeficientes a_2=3, a_1=2, a_0=K.]

Passo 5

Montando o array de Routh para o nosso caso:
\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2\\[3pt] s^2 & 3 & K\\[3pt] s^1 & \dfrac{3\cdot 2 - 1\cdot K}{3} & 0\\[8pt] s^0 & K & \end{array}
Calculamos explicitamente o elemento s^1:
\dfrac{3\cdot 2 - K}{3}=\dfrac{6-K}{3}.
Para estabilidade precisamos que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos. Assim exigimos:
  1. 1>0 (sempre verdadeiro),
  2. 3>0 (sempre verdadeiro),
  3. \dfrac{6-K}{3}>0, ou seja 6-K>0\Rightarrow K<6,
  4. K>0.
Juntando as condições 3 e 4 obtemos
0<K<6.]

Passo 6

Comentário sobre os limites:
  • Para K=0 o polinômio fica s^3+3s^2+2s=s(s+1)(s+2), que tem um polo em s=0 (marginalmente estável, não assintoticamente estável).
  • Para K=6 a linha s^1 do array fica zero e, construindo o polinômio auxiliar da linha acima, obtemos raízes puramente imaginárias s=\pm j\sqrt{2}. Portanto K=6 é caso marginal (bordo de estabilidade) com pares imaginários. Só para estabilidade assintótica devemos exigir desigualdade estrita.

Resposta

0<K<6

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