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Determine o intervalo de valores de K para a estabilidade do sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja:
Determine o intervalo de valores de K para a estabilidade do sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o intervalo de valores de
para que o sistema em realimentação unitária com função de malha aberta
seja estável (ou seja, todos os polos do laço fechado com parte real negativa).
Informações dadas:
Realimentação unitária significa que a equação característica do sistema em malha fechada é
. Não há figura faltando nem dados adicionais.
Passo 2
Vamos escrever a equação característica do laço fechado explicitamente. Para realimentação unitária:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos o polinômio característico:
Agora desenvolvemos
.
Passo 3
Expandindo o produto:
Portanto o polinômio característico (colocando todos os termos no LHS) é
Chamando os coeficientes no formato usual
, temos
,
,
.
Passo 4
Para verificar estabilidade (todas as raízes com parte real negativa) usamos o critério de Routh–Hurwitz. Vou explicar como montar o array de Routh para um polinômio cúbico e o que cada elemento representa.
Dado um polinômio
o array de Routh é construído assim (cada linha corresponde a um grau de
):
onde
A condição de estabilidade é que todos os elementos da primeira coluna do array sejam estritamente positivos.
Agora aplicamos aos nossos coeficientes
,
,
.]
Passo 5
Montando o array de Routh para o nosso caso:
Calculamos explicitamente o elemento
:
Para estabilidade precisamos que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos. Assim exigimos:
-
(sempre verdadeiro), -
(sempre verdadeiro), -
, ou seja , -
.
Juntando as condições 3 e 4 obtemos
Passo 6
Comentário sobre os limites:
- Para
o polinômio fica , que tem um polo em (marginalmente estável, não assintoticamente estável). - Para
a linha do array fica zero e, construindo o polinômio auxiliar da linha acima, obtemos raízes puramente imaginárias . Portanto é caso marginal (bordo de estabilidade) com pares imaginários. Só para estabilidade assintótica devemos exigir desigualdade estrita.