Informações relevantes dadas: \;A,\;B,\;C como acima e a equação de saída sem termo direto em u (ou seja, não há matriz D indicada). A pergunta é: obter explicitamente \displaystyle\frac{Y(s)}{U(s)}.]
Passo 2
Fórmula que vamos usar (a mais direta para sistemas de espaço de estados):
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=C\,(sI-A)^{-1}B + D.
Aqui s é a variável complexa do domínio de Laplace, I é a matriz identidade da mesma ordem de A, e D é o termo direto (aqui D=0 porque a saída é y=Cx sem dependência direta de u). Explicando: (sI-A)^{-1}B é o vetor que, multiplicado por C, dá a relação entrada-saída em s.
Passo 3
Calculo explícito de (sI-A). A matriz identidade I é 3\times3, então
Mostrei as entradas: as diagonais são s - (\text{valor diagonal de }A)=s+1,\;s+2,\;s+3 e os termos fora da diagonal são os negativos dos correspondentes de A.]
Passo 4
Em vez de calcular (sI-A)^{-1}\) inteiro (que dá uma matriz densa), é mais simples resolver o sistema linear
\[(sI-A)\,v = B,
pois v=(sI-A)^{-1}B. Assim calculamos primeiro v e depois G(s)=C\,v. Escrevendo v=\begin{bmatrix}v_1\\[4pt]v_2\\[4pt]v_3\end{bmatrix}, o sistema é
Observação didática rápida: o cancelamento significa que o pólo s=-3 presente na dinâmica de estado não aparece na relação entrada-saída — isso geralmente indica que o estado associado ao autovalor -3 é não observável na saída y.]