17.86 •• PC Um homem com
de massa está em uma banheira. Esta possui
de comprimento e
de largura; antes de a pessoa entrar, a profundidade da água era de
. A água está a uma temperatura de
. Suponha que a água esfriasse espontaneamente e formasse gelo a
, e que toda a energia liberada fosse usada para lançar o infeliz banhista verticalmente para cima. Qual seria a altura atingida pelo banhista? (Como você verá no Capítulo 20, esse evento é permitido pela conservação da energia, porém é proibido pela segunda lei da termodinâmica.)
Passo 1
O enunciado pede: qual a altura que o banhista atinge se toda a energia liberada ao esfriar a água de
até
e congelá‑la for convertida em energia potencial gravitacional do homem? \n
Dados fornecidos e constantes que usaremos (todos os números matemáticos estarão em TeX):\n
Dados fornecidos e constantes que usaremos (todos os números matemáticos estarão em TeX):\n
- massa do homem:
.\n - comprimento da banheira:
(converto para metros porque unidades do SI são mais fáceis).\n - largura da banheira:
.\n - profundidade da água antes de a pessoa entrar:
.\n - temperatura inicial da água:
.\n - temperatura final (quando congelada):
.\n - densidade da água (aproximada):
.\n - calor específico da água:
.\n - calor latente de fusão da água:
.\n - aceleração da gravidade:
.\n
Observação: vamos supor que toda a energia liberada pelo resfriamento + solidificação da água é transferida ao homem e não há perdas — isso está no enunciado.
Passo 2
Calcular o volume de água que havia na banheira antes da pessoa entrar. A fórmula do volume para um paralelepípedo é produto das três dimensões:\n
Substituindo números:\n
Passo 3
Calcular a massa da água usando
. Aqui
é a densidade da água.\n
Passo 4
Explicar a energia liberada pela água ao esfriar e congelar. Há duas contribuições de energia liberada por quilograma de água:\n
- a energia liberada ao esfriar de
até , dada por , onde . Aqui é o calor específico da água. \n - a energia liberada ao transformar água líquida em gelo à temperatura de
, dada pelo calor latente .\n
A energia liberada por unidade de massa (por kg) é, portanto,\n
Definições: \n
-
é a energia por quilograma liberada ao ir de líquido até gelo a (em J/kg);\n -
é em ;\n -
em ;\n -
em .
Passo 5
Calcular numericamente
.\n
Primeiro a parte do resfriamento:\n
Primeiro a parte do resfriamento:\n
Depois somar o calor latente:\n
Passo 6
Calcular a energia total liberada pela massa total de água: \n
Substituindo números:\n
(Para verificação: ordem de grandeza
e
, então
, que bate com o cálculo preciso.)
Passo 7
Agora usamos conservação de energia: toda a energia
é transformada em energia potencial gravitacional do homem ao ser lançado verticalmente. A energia potencial é
, onde
é a altura máxima que queremos. Igualando:\n
Logo\n
Substituindo números (calcule o denominador):\n
Agora a divisão:\n
Passo 8
Arredondamento e interpretação: com os algarismos significativos dos dados (tipicamente 3 algarismos significativos), apresentamos
com 3 algarismos: \n
o que é aproximadamente
.\n
Comentário motivador: dá para ver que o número é enorme — obviamente fisicamente impossível na prática por causa de perdas, resistência do ar, impossibilidade termodinâmica do processo espontâneo de congelamento produzindo trabalho puro etc., mas matematicamente, usando só a conservação de energia e os dados fornecidos, esse seria o resultado.
Comentário motivador: dá para ver que o número é enorme — obviamente fisicamente impossível na prática por causa de perdas, resistência do ar, impossibilidade termodinâmica do processo espontâneo de congelamento produzindo trabalho puro etc., mas matematicamente, usando só a conservação de energia e os dados fornecidos, esse seria o resultado.