17.86 •• PC Um homem com 70,0 \mathrm{~kg} de massa está em uma banheira. Esta possui 190,0 \mathrm{~cm} de comprimento e 80,0 \mathrm{~cm} de largura; antes de a pessoa entrar, a profundidade da água era de 24,0 \mathrm{~cm}. A água está a uma temperatura de 37,0^{\circ} \mathrm{C}. Suponha que a água esfriasse espontaneamente e formasse gelo a 0,0^{\circ} \mathrm{C}, e que toda a energia liberada fosse usada para lançar o infeliz banhista verticalmente para cima. Qual seria a altura atingida pelo banhista? (Como você verá no Capítulo 20, esse evento é permitido pela conservação da energia, porém é proibido pela segunda lei da termodinâmica.)

Passo 1

O enunciado pede: qual a altura que o banhista atinge se toda a energia liberada ao esfriar a água de 37,0^\circ\mathrm{C} até 0,0^\circ\mathrm{C} e congelá‑la for convertida em energia potencial gravitacional do homem? \n
Dados fornecidos e constantes que usaremos (todos os números matemáticos estarão em TeX):\n
  • massa do homem: m_{\text{homem}} = 70,0\\ \mathrm{kg}.\n
  • comprimento da banheira: l = 190,0\\ \mathrm{cm} = 1,90\\ \mathrm{m} (converto para metros porque unidades do SI são mais fáceis).\n
  • largura da banheira: w = 80,0\\ \mathrm{cm} = 0,80\\ \mathrm{m}.\n
  • profundidade da água antes de a pessoa entrar: d = 24,0\\ \mathrm{cm} = 0,24\\ \mathrm{m}.\n
  • temperatura inicial da água: T_i = 37,0^\circ\mathrm{C}.\n
  • temperatura final (quando congelada): T_f = 0,0^\circ\mathrm{C}.\n
  • densidade da água (aproximada): \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.\n
  • calor específico da água: c = 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}.\n
  • calor latente de fusão da água: L_f = 3{,}34\times10^{5}\\ \mathrm{J/kg}.\n
  • aceleração da gravidade: g = 9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}.\n
    Observação: vamos supor que toda a energia liberada pelo resfriamento + solidificação da água é transferida ao homem e não há perdas — isso está no enunciado.

Passo 2

Calcular o volume de água que havia na banheira antes da pessoa entrar. A fórmula do volume para um paralelepípedo é produto das três dimensões:\n
V = l \times w \times d\n
Substituindo números:\n
V = 1{,}90 \times 0{,}80 \times 0{,}24 = 0{,}3648\\ \mathrm{m^3}.

Passo 3

Calcular a massa da água usando m = \rho V. Aqui \rho é a densidade da água.\n
m_{\text{água}} = \rho V = 1000 \times 0{,}3648 = 364{,}8\\ \mathrm{kg}.á

Passo 4

Explicar a energia liberada pela água ao esfriar e congelar. Há duas contribuições de energia liberada por quilograma de água:\n
  1. a energia liberada ao esfriar de T_i até T_f, dada por c\Delta T, onde \Delta T = T_i - T_f. Aqui c é o calor específico da água. \n
  2. a energia liberada ao transformar água líquida em gelo à temperatura de 0{,}0^\circ\mathrm{C}, dada pelo calor latente L_f.\n
    A energia liberada por unidade de massa (por kg) é, portanto,\n
q = c\Delta T + L_f.\n
Definições: \n
  • q é a energia por quilograma liberada ao ir de T_i líquido até gelo a T_f (em J/kg);\n
  • c é em \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)};\n
  • \Delta T = T_i - T_f em ^\circ\mathrm{C};\n
  • L_f em \mathrm{J/kg}.

Passo 5

Calcular numericamente q.\n
Primeiro a parte do resfriamento:\n
c\Delta T = 4186 \times (37{,}0 - 0{,}0) = 4186 \times 37{,}0 = 154\,882\\ \mathrm{J/kg}.\n
Depois somar o calor latente:\n
q = 154\,882 + 334\,000 = 488\,882\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 6

Calcular a energia total liberada pela massa total de água: \n
Q = q \times m_{\text{água}}.á\n
Substituindo números:\n
Q = 488\,882 \times 364{,}8 = 178\,344\,153{,}6\\ \mathrm{J}.\n
(Para verificação: ordem de grandeza q\sim4{,}9\times10^{5}\\ \mathrm{J/kg} e m\sim3{,}65\times10^{2}\\ \mathrm{kg}, então Q\sim1{,}8\times10^{8}\\ \mathrm{J}, que bate com o cálculo preciso.)

Passo 7

Agora usamos conservação de energia: toda a energia Q é transformada em energia potencial gravitacional do homem ao ser lançado verticalmente. A energia potencial é \Delta U = m_{\text{homem}} g h, onde h é a altura máxima que queremos. Igualando:\n
m_{\text{homem}} g h = Q.\n
Logo\n
h = \frac{Q}{m_{\text{homem}} g}.\n
Substituindo números (calcule o denominador):\n
m_{\text{homem}} g = 70{,}0 \times 9{,}80 = 686{,}0\\ \mathrm{N}.\n
Agora a divisão:\n
h = \frac{178\,344\,153{,}6}{686{,}0} \approx 259\,977\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Arredondamento e interpretação: com os algarismos significativos dos dados (tipicamente 3 algarismos significativos), apresentamos h com 3 algarismos: \n
h \approx 2{,}60\times10^{5}\\ \mathrm{m},\n
o que é aproximadamente 2{,}60\times10^{2}\\ \mathrm{km} = 260\\ \mathrm{km}.\n
Comentário motivador: dá para ver que o número é enorme — obviamente fisicamente impossível na prática por causa de perdas, resistência do ar, impossibilidade termodinâmica do processo espontâneo de congelamento produzindo trabalho puro etc., mas matematicamente, usando só a conservação de energia e os dados fornecidos, esse seria o resultado.

Resposta

h = 2{,}60\times10^{5}\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados