Dados dois vetores \vec{A}=4,0 \hat{i}+3,0 \hat{j} e \vec{B}=5,0 \hat{i}-2,0 \hat{j}, encontre:
(b) O vetor diferença \vec{B}-\vec{A}, seu módulo, direção e sentido;

Passo 1

O enunciado dá dois vetores e pede o vetor diferença \vec{B}-\vec{A}, seu módulo, direção e sentido.
Dados fornecidos:
\vec{A}=4,0\hat{i}+3,0\hat{j}
\vec{B}=5,0\hat{i}-2,0\hat{j}
O pedido é:
  1. calcular \vec{B}-\vec{A},
  2. calcular o módulo de \vec{B}-\vec{A},
  3. determinar a direção (ângulo e/ou versor) de \vec{B}-\vec{A},
  4. descrever o sentido do vetor (para onde ele aponta).

Passo 2

Como subtrair vetores em coordenadas cartesianas: fazemos a subtração componente a componente. A fórmula geral é
\vec{B}-\vec{A}=(B_x-A_x)\hat{i}+(B_y-A_y)\hat{j},
onde B_x e B_y são as componentes de \vec{B} e A_x, A_y as de \vec{A}. Aqui B_x=5,0, B_y=-2,0, A_x=4,0, A_y=3,0. Calculando as diferenças:
B_x-A_x=5,0-4,0=1,0
B_y-A_y=-2,0-3,0=-5,0
Logo,
\vec{B}-\vec{A}=1,0\hat{i}-5,0\hat{j}.

Passo 3

Cálculo do módulo: para um vetor \vec{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j} o módulo (norma) é dado por
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}},
que vem do Teorema de Pitágoras aplicando-se ao triângulo formado pelas componentes. Aqui v_x=1,0 e v_y=-5,0. Então
\|\vec{B}-\vec{A}\|=\sqrt{(1,0)^{2}+(-5,0)^{2}}=\sqrt{1,0+25,0}=\sqrt{26}.
Aproximando numericamente,
\sqrt{26}\approx5,099.

Passo 4

Direção pelo ângulo com o eixo x: o ângulo \theta medido a partir do eixo positivo x satisfaz
\theta=\arctan\!\left(\frac{v_y}{v_x}\right),
mas é preciso checar o quadrante porque o arco-tangente dá apenas o valor principal. Para \vec{B}-\vec{A} temos v_x=1,0>0 e v_y=-5,0<0, portanto o vetor está no quarto quadrante (direita e para baixo). Calculamos
\theta=\arctan\!\left(\frac{-5,0}{1,0}\right)=\arctan(-5,0).
Numericamente,
\theta\approx-78,690^\circ,
ou, se preferir o ângulo positivo entre 0^\circ e 360^\circ,
\theta\approx281,310^\circ.
Outra forma de dar a direção é pelo versor (vetor unitário) na direção de \vec{B}-\vec{A}. O versor \hat{u} é
\hat{u}=\frac{\vec{B}-\vec{A}}{\|\vec{B}-\vec{A}\|}=\frac{1,0}{\sqrt{26}}\hat{i}-\frac{5,0}{\sqrt{26}}\hat{j}.
Aproximando:
\hat{u}\approx0,196\hat{i}-0,981\hat{j}.

Passo 5

Sentido do vetor: o sentido indica para onde o vetor aponta. Como \vec{B}-\vec{A}=1,0\hat{i}-5,0\hat{j} tem componente positiva em x e negativa em y, ele aponta para a direita e para baixo. Interpretação geométrica importante: \vec{B}-\vec{A} é o vetor que, adicionado a \vec{A}, leva a \vec{B}; ou seja, aponta do ponto (posicionamento de) \vec{A} para o ponto (posicionamento de) \vec{B}. Portanto o sentido é "do vetor \vec{A} para o vetor \vec{B}".

Resposta

\vec{B}-\vec{A}=1,0\hat{i}-5,0\hat{j}
\|\vec{B}-\vec{A}\|=\sqrt{26}\approx5,099
Direção: \theta\approx-78,690^\circ (ou 281,310^\circ); versor \hat{u}=\dfrac{1,0}{\sqrt{26}}\hat{i}-\dfrac{5,0}{\sqrt{26}}\hat{j}\approx0,196\hat{i}-0,981\hat{j}
Sentido: aponta para a direita e para baixo — do vetor \vec{A} para o vetor \vec{B}.

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