5^{a} Questão: Uma partícula se desloca em um plano x-y, de tal modo que a sua posição é dada por: r(t)=(4 b+3) \tilde{i}+(c+2) j. Sabendo que b e c são constantes positivas, Determine:
(a) O vetor velocidade em um instante qualquer;
(b) O vetor aceleração em um instante qualquer;
(c) O vetor aceleração média entre t=0 e t=1 \mathrm{~s}.
(d) O tempo para quando o vetor velocidade faz um ângulo de 45^{\circ} com o eixo Oxt.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula no plano xy como
\mathbf{r}(t) = (4b+3)\,\mathbf{i} + (c+2)\,\mathbf{j},
onde b e c são constantes positivas. As perguntas são:
(a) determinar o vetor velocidade em um instante qualquer;
(b) determinar o vetor aceleração em um instante qualquer;
(c) determinar o vetor aceleração média entre t=0 e t=1\\ \mathrm{s};
(d) achar o tempo para o qual o vetor velocidade forma um ângulo de 45^\circ com o eixo Ox.

Passo 2

Relembre a definição e como calcular a velocidade: o vetor velocidade \mathbf{v}(t) é a derivada da posição em relação ao tempo. Em notação,
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}.
Se escrevermos as componentes da posição como x(t) e y(t), isto é,
x(t)=4b+3,\qquad y(t)=c+2,
então a derivada é feita componente a componente:
\mathbf{v}(t)=\bigl(x'(t)\bigr)\,\mathbf{i}+\bigl(y'(t)\bigr)\,\mathbf{j}.
Uma regra básica de derivação: a derivada de uma constante é zero. Como b e c são constantes, 4b+3 e c+2 são constantes (não dependem de t).

Passo 3

Aplicando a regra anterior, obtemos
x'(t)=0,\qquad y'(t)=0.
Portanto
\mathbf{v}(t)=0\cdot\mathbf{i}+0\cdot\mathbf{j}=\mathbf{0}.
Interpretação física simples: a partícula não se move — sua posição é fixa no plano — então a velocidade é o vetor nulo em qualquer instante.

Passo 4

Agora a aceleração: por definição a aceleração \mathbf{a}(t) é a derivada da velocidade em relação ao tempo,
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}.
Como \mathbf{v}(t)=\mathbf{0} para todo t (vetor constante nulo), a derivada do vetor nulo também é o vetor nulo:
\mathbf{a}(t)=\mathbf{0}.
Novamente, regra usada: derivada de constante (aqui a constante é o vetor nulo) é zero.

Passo 5

A aceleração média entre t=0 e t=1\\ \mathrm{s} é definida por
\overline{\mathbf{a}}=\frac{\mathbf{v}(1)-\mathbf{v}(0)}{1-0}.
Mas \mathbf{v}(1)=\mathbf{0} e \mathbf{v}(0)=\mathbf{0}. Logo
\overline{\mathbf{a}}=\frac{\mathbf{0}-\mathbf{0}}{1}=\mathbf{0}.
Significado: não houve variação de velocidade entre 0 e 1\\ \mathrm{s}, então a aceleração média é nula.

Passo 6

Sobre o item (d): para que o vetor velocidade forme um ângulo \theta com o eixo Ox normalmente usamos
\theta=\arctan\!\left(\frac{v_y}{v_x}\right),
desde que o vetor velocidade tenha componente v_x não nula. Para \theta=45^\circ precisaríamos v_y/v_x=1 (ou seja v_y=v_x e v_x\neq0). No nosso caso, porém, \mathbf{v}(t)=\mathbf{0} para todo t, ou seja v_x=0 e v_y=0 sempre. O vetor nulo não tem direção bem definida (a razão v_y/v_x é indefinida), portanto não existe tempo em que a velocidade "faça um ângulo de 45^\circ" com o eixo Ox. Em termos práticos: não existe solução.

Resposta

(a) \mathbf{v}(t)=\mathbf{0}.
(b) \mathbf{a}(t)=\mathbf{0}.
(c) \overline{\mathbf{a}}=\mathbf{0}.
(d) Não existe tempo; \mathbf{v}(t)=\mathbf{0} para todo t, e o vetor nulo não tem direção definida.

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