5^{a} Questão: Uma partícula se desloca em um plano x-y, de tal modo que a sua posição é dada por: r(t)=(4 b+3) \tilde{i}+(c+2) j. Sabendo que b e c são constantes positivas, Determine:
(a) O vetor velocidade em um instante qualquer;
(b) O vetor aceleração em um instante qualquer;
(c) O vetor aceleração média entre t=0 e t=1 \mathrm{~s}.
(d) O tempo para quando o vetor velocidade faz um ângulo de 45^{\circ} com o eixo Oxt.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula no plano xy como
onde b e c são constantes positivas. As perguntas são:
(a) determinar o vetor velocidade em um instante qualquer;
(b) determinar o vetor aceleração em um instante qualquer;
(c) determinar o vetor aceleração média entre t=0 e t=1\\ \mathrm{s};
(d) achar o tempo para o qual o vetor velocidade forma um ângulo de 45^\circ com o eixo Ox.
Passo 2
Relembre a definição e como calcular a velocidade: o vetor velocidade \mathbf{v}(t) é a derivada da posição em relação ao tempo. Em notação,
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}.
Se escrevermos as componentes da posição como x(t) e y(t), isto é,
Significado: não houve variação de velocidade entre 0 e 1\\ \mathrm{s}, então a aceleração média é nula.
Passo 6
Sobre o item (d): para que o vetor velocidade forme um ângulo \theta com o eixo Ox normalmente usamos
\theta=\arctan\!\left(\frac{v_y}{v_x}\right),
desde que o vetor velocidade tenha componente v_x não nula. Para \theta=45^\circ precisaríamos v_y/v_x=1 (ou seja v_y=v_x e v_x\neq0). No nosso caso, porém, \mathbf{v}(t)=\mathbf{0} para todo t, ou seja v_x=0 e v_y=0 sempre. O vetor nulo não tem direção bem definida (a razão v_y/v_x é indefinida), portanto não existe tempo em que a velocidade "faça um ângulo de 45^\circ" com o eixo Ox. Em termos práticos: não existe solução.
Resposta
(a) \mathbf{v}(t)=\mathbf{0}.
(b) \mathbf{a}(t)=\mathbf{0}.
(c) \overline{\mathbf{a}}=\mathbf{0}.
(d) Não existe tempo; \mathbf{v}(t)=\mathbf{0} para todo t, e o vetor nulo não tem direção definida.