8.17 Agora, máquina é ligada como um motor CC composto cumulativo com R_{\mathrm{aj}}=120 \Omega.
(a) Qual é a velocidade a vazio do motor?
(b) Qual é sua velocidade de plena carga?
(c) Qual é sua regulação de velocidade?
(d) Plote a característica de conjugado versus velocidade desse motor.

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos:\n
  • O problema diz: “Máquina é ligada como um motor CC composto cumulativo com R_{\mathrm{aj}}=120\\ \Omega.”\n
  • Perguntas pedidas: (a) Qual é a velocidade a vazio do motor? (b) Qual é sua velocidade de plena carga? (c) Qual é sua regulação de velocidade? (d) Plote a característica de conjugado (torque) versus velocidade desse motor.\n
    Informações que faltam e que são necessárias para calcular valores numéricos:\n
  • Tensão de alimentação V (volts).\n
  • Constante de máquina combinada k\varphi (produto da constante de força contra-eletromotriz por fluxo por polo), ou separadamente k e \varphi.\n
  • Corrente de armadura a vazio I_{a0} (se quisermos precisão incluindo perdas mecânicas/curto percurso).\n
  • Torque de plena carga T_{\text{FL}} (ou corrente de plena carga I_{a,\text{FL}}).\n
  • Eventuais outras resistências série no circuito (se a notação R_{\mathrm{aj}} inclui tudo ou apenas a armadura).\n
    Como o enunciado não fornece V, k\varphi nem o torque/corrente de carga, não é possível obter números concretos para (a)–(c). Vou, então, explicar passo a passo a teoria e dar as fórmulas exatas (símbólicas) que permitem calcular cada item assim que você tiver os dados que faltam. Também mostro como traçar a curva conjugado × velocidade.

Passo 2

Modelo elétrico e equações fundamentais (o que cada símbolo significa)\n
  • V: tensão de alimentação aplicada aos terminais do motor (V).\n
  • I_a: corrente de armadura (A).\n
  • R_{\mathrm{aj}}: resistência total do circuito de armadura (inclui resistências série na armadura), dada R_{\mathrm{aj}}=120\\ \Omega conforme enunciado.\n
  • E: força contra-eletromotriz (f.c.e.) no armadura (V).\n
  • \omega: velocidade angular do rotor (rad/s). Se preferir velocidade em rpm, n = \dfrac{60}{2\pi}\,\omega.\n
  • k: constante de máquina (proporcionalidade) tal que E = k\varphi\,\omega e o torque eletromagnético é T = k\varphi\,I_a. Aqui \varphi é o fluxo por polo; costumo trabalhar com o produto k\varphi que aparece sempre junto.\n
    Equações básicas do motor DC composto cumulativo:\n
  1. Equação de tensão do circuito de armadura e série:\n
V = E + I_a R_{\mathrm{aj}}\n
  1. Relação f.c.e. (linear nas aproximações usuais):\n
E = k\varphi\,\omega\n
  1. Relação torque-corrente (linear):\n
T = k\varphi\,I_a\n
Comentários físicos rápidos: “composto cumulativo” significa que a bobina série fornece fluxo no mesmo sentido da bobina derivação, de modo que o fluxo total que atua no armadura cresce um pouco com a corrente de armadura (isto complica ligeiramente a linearidade se considerarmos saturação). Nas fórmulas acima estou assumindo fluxo proporcional à corrente de excitação; para um desenvolvimento inicial o produto k\varphi é tratado como constante ou como função conhecida de I_a. Se houver saturação, seria preciso a característica \varphi(I). Para muitos exercícios de prova considera-se k\varphi constante ou usa-se o valor correspondente nas condições dadas.

Passo 3

Velocidade a vazio (passo-a-passo conceitual e fórmula)\n
  • A velocidade a vazio corresponde basicamente ao caso de T\approx 0 e, portanto, I_a é muito pequeno (apenas a corrente necessária para vencer atritos e perdas mecânicas/indução). Em muitos problemas de prova permitimos a aproximação I_{a0}\approx 0.\n
  • Usando V = E + I_a R_{\mathrm{aj}} e E = k\varphi\,\omega, isolamos \omega:\n
\omega = \frac{V - I_a R_{\mathrm{aj}}}{k\varphi}.\n
  • Se desprezarmos a pequena corrente de vazio ( I_{a0}\approx 0), obtemos a forma simples:\n
\boxed{\omega_0 = \frac{V}{k\varphi}}\n
  • Se quisermos incluir a pequena corrente de vazio conhecida I_{a0}, usaríamos:\n
\boxed{\omega_0 = \frac{V - I_{a0} R_{\mathrm{aj}}}{k\varphi}}\n
Explicação didática: a f.c.e. tende a ficar praticamente igual à tensão de alimentação quando a corrente é desprezível; como E é proporcional à velocidade, a velocidade a vazio é aproximadamente V/(k\varphi). Na prova, se der V e k\varphi, plugue e calcula.

Passo 4

Velocidade de plena carga (como calcular a partir do torque de carga)\n
  • Para plena carga suponha que o motor precisa fornecer um torque T_{\text{FL}} (ou que a plena carga corresponde a uma corrente I_{a,\text{FL}}). Da relação torque-corrente:\n
I_a = \frac{T}{k\varphi}.\n
  • Substituindo em V = k\varphi\,\omega + I_a R_{\mathrm{aj}} e isolando \omega:\n
\omega = \frac{V - I_a R_{\mathrm{aj}}}{k\varphi} = \frac{V - \dfrac{T_{\text{FL}}}{k\varphi}R_{\mathrm{aj}}}{k\varphi}.\n
  • Simplificando, a velocidade de plena carga é:\n
\boxed{\omega_{\text{FL}} = \frac{V}{k\varphi} - \frac{R_{\mathrm{aj}}\,T_{\text{FL}}}{(k\varphi)^2}}\n
ou, se for mais direto a partir da corrente de plena carga I_{a,\text{FL}}:\n
\boxed{\omega_{\text{FL}} = \frac{V - I_{a,\text{FL}} R_{\mathrm{aj}}}{k\varphi}}\n
Didática: a segunda parcela mostra a queda de velocidade provocada pela queda de tensão na resistência do circuito de armadura ao aumentar o torque (e, portanto, a corrente). Isso gera uma característica praticamente linear entre velocidade e torque.

Passo 5

Regulação de velocidade (definição e fórmula a usar)\n
  • Uma definição comum de regulação de velocidade é a variação percentual da velocidade do vazio até a plena carga, relativa à velocidade de plena carga:\n
\text{Regulação} = \frac{\omega_0 - \omega_{\text{FL}}}{\omega_{\text{FL}}}\times 100\%.çã\n
  • Substituindo as expressões anteriores (caso I_{a0}\approx 0):\n
\omega_0 - \omega_{\text{FL}} = \frac{R_{\mathrm{aj}}\,T_{\text{FL}}}{(k\varphi)^2}.\n
  • Então a regulação é\n
\boxed{\text{Regulação} = \frac{\dfrac{R_{\mathrm{aj}}\,T_{\text{FL}}}{(k\varphi)^2}}{\omega_{\text{FL}}}\times 100\%}çã\n
  • Usando a expressão de \omega_{\text{FL}} pode-se reescrever em termos apenas de V, R_{\mathrm{aj}}, k\varphi e T_{\text{FL}}, mas a forma prática é a apresentada: calcule a queda de velocidade entre vazio e carga e compare percentualmente com a velocidade na carga.\n
    Comentário útil para prova: se pedirem regulação e lhe derem V, k\varphi, R_{\mathrm{aj}} e T_{\text{FL}}, calcule primeiro \omega_0 e \omega_{\text{FL}} e depois aplique a fórmula direta.

Passo 6

Característica conjugado (torque) versus velocidade — derivação da reta e parâmetros importantes\n
  • A partir de V = k\varphi\,\omega + I_a R_{\mathrm{aj}} e T = k\varphi\,I_a, eliminamos I_a para obter relação direta T(\omega) ou \omega(T).\n
  • Substituindo I_a = T/(k\varphi) em V:\n
V = k\varphi\,\omega + \frac{T}{k\varphi}R_{\mathrm{aj}}.\n
  • Isolando \omega:\n
\boxed{\omega = \frac{V}{k\varphi} - \frac{R_{\mathrm{aj}}}{(k\varphi)^2}\,T.}\n
Esta é uma relação linear do tipo \omega = a - bT, então a característica T versus \omega é uma reta decrescente.\n
  • Interceptos úteis:\n
  1. Velocidade a vazio (quando T=0):\n
\omega(T=0) = \frac{V}{k\varphi}.\n
  1. Torque de bloqueio/estol (quando \omega=0):\n
T_{\text{estol}} = \frac{V (k\varphi)}{R_{\mathrm{aj}}}.\n
  • Slope (declive) da reta:\n
\frac{d\omega}{dT} = -\frac{R_{\mathrm{aj}}}{(k\varphi)^2}.\n
Como traçar no gráfico (passo-a-passo):\n
  • No eixo horizontal ponha a velocidade \omega (ou n em rpm) e no eixo vertical o torque T.\n
  • Marque o ponto de vazio \left(\omega=\dfrac{V}{k\varphi},\;T=0\right).\n
  • Marque o ponto de estol \left(\omega=0,\;T=\dfrac{V (k\varphi)}{R_{\mathrm{aj}}}\right).\n
  • Una os dois pontos com uma reta; essa é a característica conjugado × velocidade para o modelo linear assumido.\n
    Observação sobre composto cumulativo: se o fluxo \varphi aumenta com I_a de forma significativa (efeito série), essa linearidade fica alterada (característica tende a ser ligeiramente não linear — geralmente a regulação melhora porque o aumento de \varphi com I_a aumenta o torque para mesma corrente). Em exercícios básicos costuma-se tratar k\varphi como constante.

Passo 7

Resumo do procedimento prático para fazer na prova (o que você deve calcular, em que ordem)\n
  1. Identificar V, R_{\mathrm{aj}}, k\varphi e T_{\text{FL}} (ou I_{a,\text{FL}}).\n
  2. Calcular velocidade a vazio por \omega_0=(V-I_{a0}R_{\mathrm{aj}})/(k\varphi) ou \omega_0=V/(k\varphi) se I_{a0} desprezível.\n
  3. Calcular I_{a,\text{FL}}=T_{\text{FL}}/(k\varphi) se der o torque, ou usar I_{a,\text{FL}} diretamente se fornecido.\n
  4. Calcular \omega_{\text{FL}}=(V - I_{a,\text{FL}}R_{\mathrm{aj}})/(k\varphi).\n
  5. Calcular regulação por (\omega_0 - \omega_{\text{FL}})/\omega_{\text{FL}}\times 100\%.\n
  6. Traçar a reta \omega = \dfrac{V}{k\varphi} - \dfrac{R_{\mathrm{aj}}}{(k\varphi)^2}T entre os interceptos mencionados.\n
    Se, no enunciado da prova, houver dependência do fluxo com a corrente (saturação, excitação série), ajuste k\varphi como função de I_a e resolva implicitamente (isso complica um pouco, mas normalmente a prova fornece a lei ou pede aproximação).

Passo 8

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver como aplicar; estes valores NÃO fazem parte do seu enunciado porque ele não os fornece)\n
Suponha hipoteticamente V=240\\ \mathrm{V}, k\varphi = 1{,}5\\ \mathrm{V\cdot s/rad} e R_{\mathrm{aj}}=120\\ \Omega (o R_{\mathrm{aj}} fornecido). Para uma carga que exige T_{\text{FL}}=20\\ \mathrm{N\cdot m}:\n
  • \omega_0 \approx \dfrac{240}{1{,}5}=160\\ \mathrm{rad/s}.\n
  • \omega_{\text{FL}} = \dfrac{240}{1{,}5} - \dfrac{120\cdot 20}{(1{,}5)^2} = 160 - \dfrac{2400}{2{,}25} \approx 160 - 1066{,}67 (aqui vemos que esses números hipotéticos dão velocidade negativa, o que indica que os valores escolhidos são incoerentes juntos).\n
    Comentário sobre o exemplo: usei esse exemplo só para mostrar o procedimento; se ao calcular você obtiver velocidade negativa significa que os números escolhidos (ou assumidos) não são fisicamente consistentes — por exemplo, R_{\mathrm{aj}} muito grande, k\varphi muito pequeno, ou torque pedido muito alto para a tensão dada. Na prova isso não costuma acontecer: os dados são coerentes.

Resposta

(a) \displaystyle \omega_0=\frac{V-I_{a0}R_{\mathrm{aj}}}{k\varphi}; se I_{a0} for desprezível então \displaystyle \omega_0=\frac{V}{k\varphi}.\n
(b) \displaystyle \omega_{\text{FL}}=\frac{V}{k\varphi}-\frac{R_{\mathrm{aj}}\,T_{\text{FL}}}{(k\varphi)^2} \quad ou \quad \displaystyle \omega_{\text{FL}}=\frac{V-I_{a,\text{FL}}R_{\mathrm{aj}}}{k\varphi} com I_{a,\text{FL}}=T_{\text{FL}}/(k\varphi).\n
(c) \displaystyle \text{Regulação}=\frac{\omega_0-\omega_{\text{FL}}}{\omega_{\text{FL}}}\times100\%=\frac{\dfrac{R_{\mathrm{aj}}\,T_{\text{FL}}}{(k\varphi)^2}}{\omega_{\text{FL}}}\times100\%.çã\n
(d) Característica conjugado versus velocidade (reta): \displaystyle \omega=\frac{V}{k\varphi}-\frac{R_{\mathrm{aj}}}{(k\varphi)^2}\,T. Interceptos: \omega(T=0)=\dfrac{V}{k\varphi} e T(\omega=0)=\dfrac{V(k\varphi)}{R_{\mathrm{aj}}}.\n
Observação final: não é possível fornecer valores numéricos para (a)–(c) porque o enunciado não especificou V, k\varphi nem T_{\text{FL}} (ou I_{a,\text{FL}}). Assim que você me passar esses dados eu calculo numéricamente e faço o gráfico detalhado passo a passo.

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