8.9 Para o motor CC de excitação independente do Problema 8-8:
(a) Qual é a velocidade a vazio máxima que se pode atingir variando a tensão V_{A} e a resistência R_{\mathrm{aj}} ?
(b) Qual é a velocidade a vazio mínima que se pode atingir variando a tensão V_{A} e a resistência R_{\mathrm{aj}} ?
(c) Qual é a eficiência do motor em condições nominais? [Observação: Assuma que (1) a queda de tensão nas escovas é 2 V ; (2) as perdas no núcleo devem ser determinadas para uma tensão de armadura igual à tensão de armadura a plena carga e (3) as perdas suplementares são 1 \% da plena carga.]

Passo 1

O que o enunciado pede:
(a) Qual é a velocidade a vazio máxima que se pode atingir variando a tensão \,V_{A}\, e a resistência \,R_{\mathrm{aj}}\, ?\n
(b) Qual é a velocidade a vazio mínima que se pode atingir variando a tensão \,V_{A}\, e a resistência \,R_{\mathrm{aj}}\, ?\n
(c) Qual é a eficiência do motor em condições nominais, dadas as observações: queda de tensão nas escovas \,=2\\ \mathrm{V}\,; perdas no núcleo devem ser determinadas para a tensão de armadura igual à tensão de armadura a plena carga; perdas suplementares =1\% da plena carga.\n
Informações dadas no enunciado da questão atual (8.9):
  • Queda de tensão nas escovas: \;V_{\text{esc}}=2\\ \mathrm{V}.
  • Perdas suplementares: 1\% da plena carga.
  • Instrução para usar perdas no núcleo avaliadas na tensão de armadura à plena carga.
Informações que faltam (são necessárias para calcular números concretos) — estas aparecem no Problema 8-8 (que você mencionou) e NÃO foram fornecidas aqui:
  • Tensão nominal de armadura \,V_{A,\text{nom}}\, e intervalo permitido para \,V_{A}\, (valor mínimo e máximo que se pode aplicar).
  • Resistência interna da armadura \,R_A\, e os limites possíveis para \,R_{\mathrm{aj}} (valor mínimo e máximo da resistência de ajuste).
  • Constante de máquina \,k\Phi\, (ou uma relação conhecida entre velocidade e tensão/escorregamento) ou dados que permitam calcular \,k\Phi\, (por exemplo: velocidade a vazio para uma dada tensão).
  • Corrente a vazio \,I_0\, (ou informação que permita desprezá-la).
  • Corrente nominal de armadura \,I_{A,\text{nom}}\, e/ou potência de saída nominal \,P_{\text{out,nom}}\,.
  • Valor das perdas no núcleo (ou curva/coeficiente que permita obtê-las a partir da tensão).
  • Informações sobre perdas do campo (se o circuito de excitatriz consome potência que deve ser contabilizada na entrada total) — tensão e corrente de excitação ou perda ôhmica do enrolamento de campo.
Conclusão deste passo: não há todos os dados numéricos necessários aqui. A resolução numérica exige os parâmetros acima. A partir daqui eu explico passo a passo como resolver cada item assim que você tiver esses números — e mostro as fórmulas gerais que você poderá aplicar diretamente na prova.

Passo 2

Princípios básicos e equações fundamentais (aulas rápidas e práticas). Vou explicar cada variável e por que entra na conta.
Equação elétrica da armadura (lei de Ohm para a armadura mais a força contra-eletromotriz):
V_A = E + I_A\,(R_A + R_{\mathrm{aj}}) + V_{\text{esc}}
onde:
  • \,V_A\, é a tensão aplicada à armadura (volts);
  • \,E\, é a força contra-eletromotriz induzida na armadura (volts);
  • \,I_A\, é a corrente da armadura (ampères);
  • \,R_A\, é a resistência interna da armadura (ohms);
  • \,R_{\mathrm{aj}}\, é a resistência de ajuste (ohms) inserida em série com a armadura;
  • \,V_{\text{esc}}\, é a queda nas escovas (aqui dada como 2\\ \mathrm{V}).
Relação entre a força contra-eletromotriz e a velocidade:
E = k\Phi\,\omega
onde:
  • \,k\Phi\, é a constante de máquina (volts por rad/s) proporcional ao fluxo por polo \Phi e à constante geométrica k; em muitas questões te dão k\Phi diretamente ou dão uma velocidade conhecido para determinar k\Phi;
  • \,\omega\, é a velocidade angular (rad/s). Se preferir em revoluções por minuto \,\mathrm{rpm}\, usamos \omega = \dfrac{2\pi\,n}{60}.
Isolando \omega:
\omega = \frac{E}{k\Phi} = \frac{V_A - I_A\,(R_A + R_{\mathrm{aj}}) - V_{\text{esc}}}{k\Phi}.
Esta fórmula é a peça-chave: relaciona a velocidade com a tensão aplicada, as resistências e a corrente da armadura. Agora vamos aplicar essas ideias para no-load (vazio) e para operação nominal (eficiência).

Passo 3

Velocidade a vazio — simplificação prática (por que dá para simplificar na prova):
  • A velocidade a vazio significa que o torque requerido para vencer as perdas mecânicas e magnéticas é pequeno; a corrente de armadura a vazio \,I_0\, costuma ser muito pequena comparada à corrente nominal. Portanto, muitas vezes na prova podemos aproximar I_A \approx I_0 \approx 0 ao calcular a velocidade a vazio (ou usar o valor I_0 se for dado).
  • Com essa aproximação a fórmula da velocidade a vazio fica bem simples:
\omega_{\text{vazio}} \approx \frac{V_A - V_{\text{esc}}}{k\Phi}.
Explicação física curta: quando não há carga, quase toda a tensão aplicada aparece na FEM (E), que é proporcional à velocidade; o pequeno termo I_A(R_A+R_{\mathrm{aj}}) pode ser negligenciado se I_0 for pequeno.

Passo 4

Como obter a velocidade a vazio máxima (resolução do item (a), método e raciocínio):
  • Para maximizar \omega_{\text{vazio}} pela fórmula \omega_{\text{vazio}} \approx \dfrac{V_A - V_{\text{esc}}}{k\Phi}, você deve:
    1. Aplicar a maior tensão possível \,V_{A,\max}\, (se o enunciado permite variar \,V_A\, até certo limite).
    2. Usar a menor resistência de ajuste \,R_{\mathrm{aj,min}}\, (se houver queda de tensão não nula quando circula corrente de repouso, e se I_0 não for desprezível, o termo I_0(R_A+R_{\mathrm{aj,min}}) também deve ser pequeno).
  • Expressão geral com I_0 não nulo:
\omega_{\text{vazio,max}} = \frac{V_{A,\max} - I_0\,(R_A+R_{\mathrm{aj,min}}) - V_{\text{esc}}}{k\Phi}.
  • Se I_0 puder ser desprezado, simplifica para:
\omega_{\text{vazio,max}} \approx \frac{V_{A,\max} - V_{\text{esc}}}{k\Phi}.
Observação prática para a prova: normalmente o professor quer que você veja que aumentar V_A aumenta proporcionalmente a velocidade a vazio, e aumentar R_{\mathrm{aj}} só reduz velocidade (porque provoca queda de tensão). Então a combinação ótima para máxima velocidade é V_A máximo e R_{\mathrm{aj}} mínimo.

Passo 5

Como obter a velocidade a vazio mínima (resolução do item (b), método e raciocínio):
  • Pela mesma fórmula, para minimizar \omega_{\text{vazio}} você:
    1. Aplica a menor tensão permitida \,V_{A,\min}\, (pode ser zero se o circuito permitir).
    2. Usa a maior resistência de ajuste \,R_{\mathrm{aj,max}}\, para aumentar ainda mais a queda de tensão na série (se I_0 não for exatamente zero).
  • Expressão geral:
\omega_{\text{vazio,min}} = \frac{V_{A,\min} - I_0\,(R_A+R_{\mathrm{aj,max}}) - V_{\text{esc}}}{k\Phi}.
  • Se V_{A,\min}=0 e I_0 for desprezível, então \omega_{\text{vazio,min}} \approx -\dfrac{V_{\text{esc}}}{k\Phi}. Na prática a velocidade não fica negativa sem inversão de polaridade; isso só significa que se você aplicasse tensão inversa obteria rotação reversa. Em aplicações reais, a mínima velocidade física é geralmente zero rotor parado; na conta é preciso atentar para limites práticos (não force números nonsense em prova).
  • Em resumo prático: a mínima velocidade a vazio ocorre com V_A mínimo e R_{\mathrm{aj}} máximo.

Passo 6

Regras rápidas e dicas para a prova sobre (a) e (b):
  • Se no enunciado do Problema 8-8 for dado um par específico de valores (por exemplo, velocidade a vazio conhecida para uma tensão conhecida), você pode usar isso para calcular k\Phi via
k\Phi = \frac{V_{A,\text{refer}} - I_{\text{refer}}(R_A+R_{\mathrm{aj,refer}}) - V_{\text{esc}}}{\omega_{\text{refer}}}.
  • Depois de ter k\Phi, substitua os extremos de V_A e R_{\mathrm{aj}} nas fórmulas do Passo 4 e Passo 5 para obter velocidades numéricas.
  • Nunca esqueça de usar as mesmas unidades (se \omega for em rad/s ou n em rpm). Para converter: \omega = 2\pi n/60.

Passo 7

Como calcular a eficiência em condições nominais (item (c)) — explicação didática e passo a passo com todas as perdas listadas:
Definição:
\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in, total}}}.
Entradas e perdas que precisamos distinguir:
  • Potência elétrica fornecida à armadura: \,P_{in,\text{arm}} = V_{A,\text{nom}} \, I_{A,\text{nom}}.
  • Se o circuito de excitação (campo) consome potência separada, potência do campo: \,P_{\text{campo}} = V_f I_f\, (incluir no denominador se a fonte do campo é externa).
  • Perdas ôhmicas na armadura: \,P_{cu} = I_{A,\text{nom}}^2 R_A.
  • Perdas nas escovas: \,P_{\text{esc}} = I_{A,\text{nom}} \, V_{\text{esc}} (aqui V_{\text{esc}}=2\\ \mathrm{V}).
  • Perdas no núcleo (perdas por histerese e correntes parasitas): \,P_{\text{core}} — o enunciado pede para usar o valor de P_{\text{core}} correspondente à tensão de armadura à plena carga; logo pegue o valor de perdas no núcleo avaliado na tensão V_{A,\text{nom}}.
  • Perdas suplementares: \,P_{\text{sup}} = 0{,}01 \, P_{\text{plena carga}}. Aqui é preciso interpretar “1% da plena carga”: normalmente significa 1\% da potência útil nominal do motor \,P_{\text{out,nom}}\,. Use isso salvo indicação contrária.
  • Outras perdas mecânicas (atrito, ventilação) podem estar combinadas em P_{\text{sup}} ou dadas separadamente — verificar Problema 8-8.
Fórmula prática para potência útil de saída (mecânica) e entrada total:
  • Potência de saída (mecânica) nominal:
P_{\text{out,nom}} = P_{in,\text{arm}} - \big(P_{cu} + P_{\text{esc}} + P_{\text{core}} + P_{\text{sup}} \big) - P_{\text{campo, se aplicável}}á
(ou, se o campo for alimentado por fonte separada, subtrai-se P_{\text{campo}} entre as perdas; se a potência do campo é fornecida ao mesmo tempo pela mesma fonte, inclui-se no P_{in,\text{total}} do denominador.)
  • Potência total de entrada (a contabilizar no denominador de \eta):
P_{\text{in,total}} = P_{in,\text{arm}} + P_{\text{campo}} \quad \text{(se campo for alimentado separadamente)}.
Logo, eficiência:
\eta = \frac{P_{\text{out,nom}}}{P_{\text{in,total}}} = \frac{P_{in,\text{arm}} - \big(P_{cu} + P_{\text{esc}} + P_{\text{core}} + P_{\text{sup}}\big) - P_{\text{campo (se não incluído no }P_{in,\text{arm}})}}{P_{in,\text{arm}} + P_{\text{campo (se aplicável)}} }.ãíá
Substituindo as expressões:
\eta = \frac{V_{A,\text{nom}} I_{A,\text{nom}} - \big(I_{A,\text{nom}}^2 R_A + I_{A,\text{nom}} V_{\text{esc}} + P_{\text{core}} + 0{,}01\,P_{\text{out,nom}} \big) - P_{\text{campo}}}{V_{A,\text{nom}} I_{A,\text{nom}} + P_{\text{campo}} }.
Observações práticas:
  • A equação anterior é implícita em P_{\text{out,nom}} (porque P_{\text{out,nom}} aparece no termo 0{,}01\,P_{\text{out,nom}}). Em provas isso normalmente não é um problema porque você conhece P_{\text{out,nom}} (potência nominal do motor) ou consegue isolar P_{\text{out,nom}} resolvendo uma equação linear simples. Se necessário, reescreva a equação explicitamente para P_{\text{out,nom}} antes de calcular \eta.
  • Se o enunciado do Problema 8-8 dá a potência nominal do eixo (por exemplo, P_{\text{out,nom}} = 10\\ \mathrm{kW}), então P_{\text{sup}} = 0{,}01 \times 10\\ \mathrm{kW} = 0{,}1\\ \mathrm{kW}.
  • Lembre-se de incluir perdas do campo P_{\text{campo}} se o circuito de excitação consome potência fornecida pela mesma fonte; se o campo é alimentado por outra fonte e o enunciado pedir a eficiência do motor sem contar a fonte do campo, adapte conforme solicitado.

Passo 8

Passo-a-passo prático para calcular numericamente a eficiência assim que você tiver os dados do Problema 8-8 (faça isto na prova com calma):
  1. Anote V_{A,\text{nom}} e I_{A,\text{nom}}.
  2. Calcule P_{in,\text{arm}} = V_{A,\text{nom}} I_{A,\text{nom}}.
  3. Calcule P_{cu} = I_{A,\text{nom}}^2 R_A.
  4. Calcule P_{\text{esc}} = I_{A,\text{nom}} V_{\text{esc}} (use V_{\text{esc}}=2\\ \mathrm{V}).
  5. Pegue P_{\text{core}} correspondente a V_{A,\text{nom}} (o enunciado manda usar o valor do núcleo para essa tensão).
  6. Calcule P_{\text{sup}} = 0{,}01\,P_{\text{out,nom}} (use potência útil nominal conhecida).
  7. Se o campo consome potência, calcule P_{\text{campo}} = V_f I_f.
  8. Encontre P_{\text{out,nom}} = P_{in,\text{arm}} - (P_{cu} + P_{\text{esc}} + P_{\text{core}} + P_{\text{sup}}) - P_{\text{campo}} (ajuste conforme como o campo foi contabilizado).
  9. Finalmente, calcule \eta = \dfrac{P_{\text{out,nom}}}{P_{in,\text{arm}} + P_{\text{campo}}} (ou sem P_{\text{campo}} no denominador se for pedido assim pelo enunciado).

Passo 9

Resumo do que eu consigo entregar agora (e o que você precisa me mandar se quiser os números prontos):
  • Posso te dar os valores numéricos de (a), (b) e (c) rapidamente se você me fornecer os parâmetros do Problema 8-8 listados no Passo 1: especialmente \,V_{A,\min}\,, V_{A,\max}\,, R_A\,, R_{\mathrm{aj,min}}\,, R_{\mathrm{aj,max}}\,, k\Phi (ou uma velocidade conhecida para uma tensão conhecida), I_0 (ou confirmar que \,I_0 pode ser desprezado), I_{A,\text{nom}} e P_{\text{core}} à tensão nominal, além de P_{\text{out,nom}} e dados do campo se existirem.\n
  • Enquanto esses números não estão disponíveis, eu te dei as fórmulas prontas e o passo-a-passo para aplicar na prova. Anda que nem é tão ruim — com essas equações você consegue responder rápido se tiver os parâmetros!

Resposta

(a) Não é possível fornecer um valor numérico sem os parâmetros do Problema 8-8. Em geral, a velocidade a vazio máxima é
\omega_{\text{vazio,max}} = \frac{V_{A,\max} - I_0\,(R_A+R_{\mathrm{aj,min}}) - V_{\text{esc}}}{k\Phi},
ou, se I_0 puder ser desprezado,
\omega_{\text{vazio,max}} \approx \frac{V_{A,\max} - V_{\text{esc}}}{k\Phi}.
(b) Não é possível fornecer um valor numérico sem os parâmetros do Problema 8-8. Em geral, a velocidade a vazio mínima é
\omega_{\text{vazio,min}} = \frac{V_{A,\min} - I_0\,(R_A+R_{\mathrm{aj,max}}) - V_{\text{esc}}}{k\Phi},
com simplificação \omega_{\text{vazio,min}} \approx \dfrac{V_{A,\min} - V_{\text{esc}}}{k\Phi} se I_0 for desprezível.
(c) Não é possível fornecer um valor numérico sem os parâmetros do Problema 8-8. A eficiência nominal calcula-se por
\eta = \frac{P_{\text{out,nom}}}{P_{in,\text{arm}} + P_{\text{campo}}}
com
P_{in,\text{arm}}=V_{A,\text{nom}}I_{A,\text{nom}}, \quad P_{cu}=I_{A,\text{nom}}^2R_A, \quad P_{\text{esc}}=I_{A,\text{nom}}V_{\text{esc}},
P_{\text{core}}=\text{(valor do núcleo na tensão }V_{A,\text{nom}}\text{)}, \quad P_{\text{sup}}=0{,}01\,P_{\text{out,nom}},úã
e
P_{\text{out,nom}}=P_{in,\text{arm}}-\big(P_{cu}+P_{\text{esc}}+P_{\text{core}}+P_{\text{sup}}\big)-P_{\text{campo}}.
Substitua os valores numéricos do Problema 8-8 nessas fórmulas para obter a eficiência.

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