7.17 As capacitâncias mostradas são todas em
. Calcule a capacitância equivalente vista pelos terminais
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a capacitância equivalente vista entre os terminais
e
.
Listei todas as informações que estão na figura (peguei estes números da imagem enviada):
Listei todas as informações que estão na figura (peguei estes números da imagem enviada):
- Todas as capacitâncias estão em
. - Capacitores e conexões (nomes dados para facilitar a resolução):
- Capacitor entre o nó top (topo contínuo) e o terminal
: . - Entre o top e o nó interno esquerdo (vou chamar de
): . - Entre o nó interno esquerdo
e o terminal : . - Entre o nó
e o nó central superior ( ): . - Entre o nó central superior
e o nó interno direito : . - Entre o nó
e o terminal : . - Entre o top e o nó interno direito
: . - Entre o nó interno direito
e o nó inferior direito (vou chamar de ): . - Entre o nó
e o terminal : . - Entre o top e o nó
: . - Entre
e (na barra inferior): .
- Capacitor entre o nó top (topo contínuo) e o terminal
O que se pede claramente: determinar
vista entre os terminais
e
.
Passo 2
Qual método escolher e por quê?
- Observando a topologia: há uma malha superior com dois capacitores em série (
e ) e uma malha inferior com dois capacitores em série ( e ), além de ramos verticais que “ligam” esses pontos ao nó top. Esse é um circuito tipo ponte (bridge) com nós flutuantes; portanto reduções triviais só por pares em série/paralelo não simplificam tudo direto. - Método adotado: análise nodal com uma fonte de prova (tensão de teste) entre
e . Esse método é robusto para redes de capacitores porque, com uma tensão de prova , calcula-se a carga total saída do terminal ; . É equivalente ao aplicar uma tensão unitária e somar as cargas no terminal. Vou usar (facilita).
Breve revisão (aula rápida) do que vou usar:
- Capacitor entre dois nós
e tem carga sobre a placa do lado do nó dada por . - Em um nó isolado (nó sem fonte externa), a soma algébrica das cargas entregues pelos capacitores ligados a esse nó é zero (equivalente a KCL para cargas):
. - Se colocarmos
e , então a capacitância equivalente entre e é simplesmente (já que ) onde
Passo 3
Definição dos nodos e variáveis (para montar equações nodais):
- Nós com tensões desconhecidas:
(topo contínuo), (nó interno esquerdo), (nó central superior), (nó interno direito), (nó inferior direito). - Terminais com tensões escolhidas:
(terminal ), (terminal ). (Uso volt porque facilita: então .) - Lista de capacitores pelos pares de nós (reescrevendo para referência):
-
Passo 4
Escrevendo as equações nodais (somatória das correntes de capacitores em cada nó desconhecido = 0). Para cada nó
:
Aplicando isso:
- Nó
:
- Nó
:
- Nó
:
- Nó
:
- Nó
:
Agora substituí
e
em cada equação e reorganizei em forma linear (coeficientes numéricos) para facilitar solução. As equações reescritas ficam:
- (Eq T)
- (Eq 1)
- (Eq 2)
- (Eq 3)
- (Eq r)
(Expliquei como cheguei a cada termo: por exemplo no nó
somei todos os coeficientes dos termos
obtendo
e os termos mistos aparecem com sinais negativos.)
Passo 5
Redução do sistema: usei (Eq 2) para expressar
em função de
e
:
Substituí essa expressão em (Eq 1) e (Eq 3) para eliminar
. Também usei (Eq r) para escrever
em função de
e
:
Após essas substituições o sistema ficou com três incógnitas
. Reescrevendo (após multiplicações para eliminar frações) obtive o sistema linear (foi manipulação algébrica direta, preservando todos os coeficientes):
- (A)
- (B)
- (C)
(Se alguém quiser, posso mostrar linha a linha a multiplicação algébrica que leva a esses coeficientes — foi apenas substituição de
e
e multiplicação por constantes para limpar denominadores.)
Passo 6
Resolvi esse sistema 3×3 numericamente (eliminação gaussiana / combinações lineares). O sistema acima dá, com aritmética cuidadosa, as soluções aproximadas:
-
, -
, -
.
Com essas, calculei também
e
pelas relações anteriores:
(Hoje não pulei etapas: mostrei que
vem direto de (Eq 2) e
de (Eq r); depois obtive
por solução do 3×3. Os valores acima são arredondados para 5 casas decimais — uso essas aproximações para a soma de cargas que segue.)
Passo 7
Agora calculo a carga total no terminal
quando
. Lembrete: a carga no terminal
é soma das cargas nos capacitores ligados a
, ou seja
Substituindo valores numéricos (tudo em
e tensões em volts):
-
, -
, -
.
Portanto
Calculando:
-
, -
, -
.
Soma:
Passo 8
Conclusão final da técnica: com
temos
(em
), logo:
Arredondando com sentido prático para a prova: