1. Encontre o valor da tensão nos terminais do resistor de 3 \Omega v_{s}(t), para \mathrm{t}>0.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a tensão nos terminais do resistor de \,3\\ \Omega (denotada v_s(t)) para \,t>0, após uma comutação em t=0.
Informações que consegui extrair da imagem (peguei estes dados da figura):
  • Fonte de tensão: 12\\ \text{V} (CC, à esquerda).
  • Em série com a fonte há um resistor de 3\\ \Omega (à esquerda).
  • Do nó entre esse 3\\ \Omega e a chave/fecho há, para o terra:
    • um resistor de 6\\ \Omega (para o mesmo nó inferior),
    • uma fonte de corrente de 2\\ \text{A} apontando para cima (do terra para o nó).
  • Há uma chave no ramo superior que é acionada em t=0 (seta indicando fechamento em t=0).
  • Do outro lado da chave, em série, há um resistor de 7\\ \Omega que leva ao bloco à direita.
  • No bloco direito (onde aparece v_s(t)) existem os elementos:
    • um indutor de 1/2\\ \text{H},
    • um resistor de 3\\ \Omega (a tensão sobre ele é v_s(t), com sinal mostrado),
    • um capacitor de 1/4\\ \text{F}.
  • Os valores numéricos dos elementos da direita, segundo a figura, são: L=\tfrac{1}{2}\\ \text{H}, C=\tfrac{1}{4}\\ \text{F}, e o resistor cuja tensão é pedida é 3\\ \Omega.
Observação importante (ambiguidades que encontrei na imagem — não tenho certeza):
  • A disposição exata do indutor, do resistor 3\\ \Omega e do capacitor não está perfeitamente nítida na figura: parece haver um ramo série com o indutor e o resistor 3\\ \Omega e o capacitor está ligado no nó superior desse ramo ao terra (ou seja, o capacitor pode estar em paralelo com a combinação série L 3\Omega), mas a figura é pequena e dá margem a interpretação diferente (por exemplo o capacitor poderia estar em paralelo apenas com o resistor de 3\\ \Omega, ou o desenho pode representar outra topologia).
  • Não deu para confirmar com total certeza se, antes de t=0, o ramo direito estava completamente isolado (ou seja, se a chave estava aberta) — a figura sugere isso, mas a projeção é pequena.
Essas ambiguidades são relevantes porque a topologia exata (como L, R e C se conectam entre si e ao nó que vem do resistor 7\\ \Omega) muda a equação diferencial do circuito e, portanto, a resposta v_s(t). Sem uma leitura clara da topologia não é possível garantir a derivação correta do comportamento dinâmico.

Passo 2

Por que a ambiguidade impede uma solução segura:
  • Para obter v_s(t) precisamos escrever as equações de circuito (KCL/KVL) e aplicar as condições iniciais (continuidade de v_C e de i_L). Essas equações dependem de qual nó o capacitor conecta (se está em paralelo com toda a série L\!-\!3\Omega ou apenas com parte dela).
  • As condições iniciais dependem do estado do ramo direito para t<0 (se estava isolado, então v_C(0^-)=0 e i_L(0^-)=0 provavelmente; se estava conectado, então os valores iniciais serão outros).
  • Sem saber com certeza a conectividade e o estado inicial, diferentes equações darão respostas distintas — não posso “adivinhar” qual é a correta.

Passo 3

O que eu faria, passo a passo, assim que a topologia for confirmada (resumo do método didático que vou aplicar com calma e todos os detalhes quando a figura estiver clara):
  1. Identificar o nó onde a chave conecta os dois blocos; calcular o equivalente Thevenin do lado esquerdo visto pelas pernas da chave (obter V_{th} e R_{th}) — isto reduz bastante o trabalho e é uma técnica padrão.
    • Exemplo de como fazer: desligar fontes independentes (curto de fonte de tensão, abrir fonte de corrente) para achar R_{th}; calcular tensão no nó com carga aberta para achar V_{th}. Vou mostrar todas as contas.
  2. Determinar as condições iniciais em t=0^+:
    • v_C(0^+)=v_C(0^-) (tensão do capacitor contínua).
    • i_L(0^+)=i_L(0^-) (corrente do indutor contínua).
    • Vou obter v_C(0^-) e i_L(0^-) analisando o circuito para t<0 (normalmente regime estacionário DC se a chave estava aberta).
  3. Substituir o lado esquerdo pelo seu Thevenin e montar as equações de estado para o bloco direita (dois estados: v_C(t) e i_L(t)) usando:
    • KCL no nó superior do ramo direito (corrente pela capacitância + corrente no ramo série L\!-\!R = corrente que vem do Thevenin).
    • KVL no ramo série L\!-\!R (relaciona v_C, L\, di_L/dt e 3 i_L).
    • Vou explicar fisicamente o significado de cada termo e porque cada sinal aparece.
  4. Resolver o sistema:
    • Transformada de Laplace (com as condições iniciais) ou resolução por equações diferenciais acopladas (montando a matriz de estados), encontrar I_L(s) e V_C(s).
    • Obter V_s(s)=3 I_L(s) e fazer frações parciais para voltar ao domínio do tempo.
    • Calcular constantes a partir de v_s(0^+) e v_s(\infty) para checar coerência física (por exemplo v_s(\infty) deve ser o valor DC obtido quando L curto e C aberto).
  5. Apresentar v_s(t) com todas as etapas, explicar como reconhecer quando usar cada atalho (Thevenin, Laplace, condições iniciais) e dar uma interpretação física do resultado (componentes exponenciais = amortecimento, termo permanente = valor DC).
Eu realmente consigo executar todos esses passos e mostrar cada conta (sem pular etapas), mas para isso preciso ter a topologia sem ambiguidades.

Resposta

Não é possível determinar de forma única e confiável v_s(t) com a figura fornecida porque a conexão exata entre o indutor, o resistor de 3\\ \Omega e o capacitor à direita não ficou clara na imagem enviada; também não ficou totalmente certo o estado do ramo direito para t<0. Essas informações são essenciais para escrever as equações diferenciais corretas e aplicar as condições iniciais. Por favor envie uma imagem um pouco mais nítida ou descreva explicitamente a topologia do bloco direito (por exemplo: “após o resistor de 7\\ \Omega, o nó superior vai para um indutor em série com o resistor de 3\\ \Omega, e o capacitor de 1/4\\ \text{F} está entre o nó superior e o terra” — ou a descrição correta). Assim eu monto a solução detalhada passo a passo e checo que o resultado coincide com v_s(t)=[6e^{-4t}-3e^{-2t}+6]\\ \text{(V)} ou mostro a resposta correta se for diferente.

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