7.3 Calcule i_{\mathrm{g}} se v=10 e^{-20 t} \mathrm{~V}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado (peguei estes dados da figura):
  • Pedido: calcular i_{\mathrm{g}}(t) para o circuito da figura quando \,v(t)=10\,e^{-20t}\\ \text{V}.
  • Da figura (circuito) temos:
    • Um resistor de 5\,\Omega ligado entre os mesmos nós onde a tensão v está marcada (peguei o valor 5\,\Omega da imagem).
    • Um capacitor de 0,005\\ \text{F} em paralelo com o resistor (peguei 0,005\\ \text{F} da imagem).
    • Uma fonte de corrente i_g na coluna esquerda com a seta apontando para cima (peguei a direção da seta da imagem).
  • Informação extra do enunciado: \,v(t)=10\,e^{-20t}\\ \text{V}.

Passo 2

Escolha de referências de corrente e aplicação do KCL (princípio usado).
  • Vou aplicar a Lei dos Nós (KCL) no nó superior: a corrente que sai do nó pelo resistor mais a corrente que sai pelo capacitor deve ser igual à corrente fornecida pela fonte i_g (considerando a orientação mostrada da fonte entrando no nó superior).
  • Em notação matemáticа:
i_{\mathrm{g}}(t)=i_{R}(t)+i_{C}(t).
  • Explicação didática:
    • KCL (Lei dos Nós) diz que a soma algébrica das correntes que chegam a um nó é zero; aqui coloquei as correntes de elemento saindo do nó no lado direito e a corrente da fonte entrando, por isso a equação acima.
    • É importante definir o sinal consistente: adotei corrente i_R como a que vai do terminal superior para o inferior através do resistor (convenção coerente com o sinal + em cima da tensão v na figura). Para o capacitor adotei a mesma referência (corrente positiva do nó superior para o inferior).

Passo 3

Expressão da corrente pelo resistor (Lei de Ohm).
  • Lei de Ohm: a corrente através de um resistor é a tensão sobre ele dividida pela resistência.
i_{R}(t)=\frac{v(t)}{R}.
  • Substituindo R=5\,\Omega e v(t)=10\,e^{-20t}:
i_{R}(t)=\frac{10\,e^{-20t}}{5}=2\,e^{-20t}\\ \text{A}.

Passo 4

Expressão da corrente pelo capacitor (relação diferencial de capacitor).
  • Fórmula do capacitor: a corrente através de um capacitor é proporcional à derivada temporal da tensão nele:
i_{C}(t)=C\,\frac{dv(t)}{dt},
onde C é a capacitância, v(t) é a tensão no capacitor e \dfrac{dv}{dt} é a derivada da tensão em relação a t.
  • Substituindo C=0,005\\ \text{F} e v(t)=10\,e^{-20t}. Primeiro calcule a derivada:
\frac{dv(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(10\,e^{-20t}\bigr)=10\cdot(-20)\,e^{-20t}=-200\,e^{-20t}.
  • Agora multiplica por C:
i_{C}(t)=0,005\cdot\bigl(-200\,e^{-20t}\bigr)=-1\,e^{-20t}\\ \text{A}.
  • Interpretação: o sinal negativo indica que, com a convenção adotada (corrente positiva saindo do nó superior), a corrente real do capacitor está no sentido oposto naquele instante. Mas a soma algébrica continua valendo na KCL.

Passo 5

Somando as correntes para obter i_{\mathrm{g}}(t).
  • Usando a relação do Passo 2:
i_{\mathrm{g}}(t)=i_{R}(t)+i_{C}(t).
  • Substituindo os resultados dos Passos 3 e 4:
i_{\mathrm{g}}(t)=2\,e^{-20t}+(-1\,e^{-20t})=(2-1)\,e^{-20t}=1\,e^{-20t}.
  • Portanto a corrente da fonte, com a orientação indicada na figura (seta para cima), é:
i_{\mathrm{g}}(t)=e^{-20t}\\ \text{A}.

Resposta

i_{\mathrm{g}}(t)=e^{-20t}\\ \text{A}

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