- ( 2,0 pontos) Uma linha de transmissão com 2 metros de comprimento e operada na frequência
é caracterizada pelos seguintes parâmetros:
, e
. Se a linha é conectada a um gerador com tensão de
, e está terminada em uma carga
, determine:
b) a corrente na entrada da linha;
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (aqui apenas listo as informações; não vou resolver ainda):
- Comprimento da linha:
. - Frequência:
(não será necessária diretamente para o cálculo pedido). - Parâmetros da linha:
- atenuação dada em decibéis por metro:
. - constante de fase:
. - impedância característica:
.
- atenuação dada em decibéis por metro:
- Gerador: tensão de fonte
(vou tomar como fasor), resistência interna . - Carga no fim da linha:
.
O que se pede (parte b): determinar a corrente na entrada da linha (ou seja, a corrente que entra na linha no ponto de conexão com o gerador).
Passo 2
Entendendo o que precisamos calcular e as fórmulas relevantes (aula rápida).
- Para uma linha de transmissão uniformemente distribuída, a constante de propagação complexa é
onde
é a atenuação em nepers por metro (Np/m) e
é a constante de fase em rad/m.
- A impedância de entrada da linha, medida na extremidade ligada ao gerador (a uma distância
da carga), é dada por
Essa fórmula vale para linha com perdas (ou sem perdas); a função
aceita argumento complexo.
- A corrente que efetivamente entra na linha (corrente na entrada) é a corrente resultante da fonte e da resistência interna em série com
. Assim
- Observação importante: o enunciado dá
em ; antes de usar é preciso converter para nepers por metro. A relação é
Passo 3
Converter
de
para
e calcular
.
- Dado
,
- Como
e , obtemos
Passo 4
Calcular
. Vou usar a identidade útil para argumento complexo:
onde
e
.
- Aqui
e . - Calcular as funções hiperbólicas e trigonométricas necessárias:
-
. -
(cálculo via exponenciais: ). -
(cálculo via ). -
. -
.
-
- Substituindo na identidade:
- Dividindo os termos reais e imaginários pela parte real do denominador:
Passo 5
Calcular
usando a fórmula da linha.
- Primeiro calcule
:
Fazendo a multiplicação complexa (mostrando os termos):
- Parte real:
- Parte imaginária:
Logo
- Agora compute
e . -
- Primeiro calcule
: - Assim
-
- Finalmente, aplicar a fórmula
- Calcule a razão complexa
Fazendo a divisão complexa (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador) obtém-se
- Multiplicando por
:
(obs.: arredondei os termos mantendo precisão adequada; note que
ficou bem próximo de
porque a linha é relativamente longa com atenuação significante).
Passo 6
Calcular a corrente na entrada da linha. O gerador de tensão
em série com
vê a impedância
. Assim
- Somar
- Dividir o fasor da tensão por essa impedância:
Fazendo a divisão complexa (multiplicar numerador e denominador pelo conjugado):
- Denominador em módulo ao quadrado:
- Numerador complexo após multiplicar pelo conjugado:
. - Portanto o fasor resultante é
- Em forma fasorial (magnitude e fase):
- Magnitude:
- Fase:
- Magnitude: