1. ( 2,0 pontos) Uma linha de transmissão com 2 metros de comprimento e operada na frequência \omega=1.10^{8} \mathrm{rad} / \mathrm{s} é caracterizada pelos seguintes parâmetros: \alpha=8 \mathrm{~dB} / \mathrm{m}, \beta= 1 \mathrm{rad} / \mathrm{m}, e Z_{0}=30+\mathrm{j} 60 \Omega. Se a linha é conectada a um gerador com tensão de 10 / 0^{\circ} V, Z_{\mathrm{g}}=50 \Omega, e está terminada em uma carga Z_{\mathrm{L}}=20+\mathrm{j} 50 \Omega, determine:
b) a corrente na entrada da linha;

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (aqui apenas listo as informações; não vou resolver ainda):
  • Comprimento da linha: \,l = 2\\ \mathrm{m}.
  • Frequência: \,\omega = 1\cdot10^{8}\\ \mathrm{rad/s} (não será necessária diretamente para o cálculo pedido).
  • Parâmetros da linha:
    • atenuação dada em decibéis por metro: \,\alpha_{\text{dB}} = 8\\ \mathrm{dB/m}.
    • constante de fase: \,\beta = 1\\ \mathrm{rad/m}.
    • impedância característica: \,Z_0 = 30 + \mathrm{j}\,60\\ \Omega.
  • Gerador: tensão de fonte \,V_g = 10\angle 0^\circ\\ \mathrm{V} (vou tomar como fasor), resistência interna \,Z_g = 50\\ \Omega.
  • Carga no fim da linha: \,Z_L = 20 + \mathrm{j}\,50\\ \Omega.
O que se pede (parte b): determinar a corrente na entrada da linha (ou seja, a corrente que entra na linha no ponto de conexão com o gerador).

Passo 2

Entendendo o que precisamos calcular e as fórmulas relevantes (aula rápida).
  • Para uma linha de transmissão uniformemente distribuída, a constante de propagação complexa é
\gamma = \alpha + \mathrm{j}\,\beta,
onde \alpha é a atenuação em nepers por metro (Np/m) e \beta é a constante de fase em rad/m.
  • A impedância de entrada da linha, medida na extremidade ligada ao gerador (a uma distância l da carga), é dada por
Z_{\text{in}}(l) = Z_0 \,\frac{Z_L + Z_0 \operatorname{tanh}(\gamma l)}{Z_0 + Z_L \operatorname{tanh}(\gamma l)}.
Essa fórmula vale para linha com perdas (ou sem perdas); a função \operatorname{tanh} aceita argumento complexo.
  • A corrente que efetivamente entra na linha (corrente na entrada) é a corrente resultante da fonte e da resistência interna em série com Z_{\text{in}}. Assim
I_{\text{in}} = \frac{V_g}{Z_g + Z_{\text{in}}}.
  • Observação importante: o enunciado dá \alpha em \mathrm{dB/m}; antes de usar \gamma é preciso converter para nepers por metro. A relação é
1\\ \mathrm{Np} = 8{,}686\\ \mathrm{dB}\quad\Rightarrow\quad \alpha \;(\mathrm{Np/m}) = \frac{\alpha_{\text{dB}}}{8{,}686}.

Passo 3

Converter \alpha de \mathrm{dB/m} para \mathrm{Np/m} e calcular \gamma l.
  • Dado \alpha_{\text{dB}} = 8\\ \mathrm{dB/m},
\alpha = \frac{8}{8{,}686}\\ \mathrm{Np/m} \approx 0{,}921034\\ \mathrm{Np/m}.
  • Como \beta = 1\\ \mathrm{rad/m} e l = 2\\ \mathrm{m}, obtemos
\gamma l = (\alpha + \mathrm{j}\beta)l = (0{,}921034 + \mathrm{j}\,1)\cdot 2 = 1{,}842068 + \mathrm{j}\,2\\ \\ (\text{unidades: Np (real) e rad (imag)}).

Passo 4

Calcular \operatorname{tanh}(\gamma l). Vou usar a identidade útil para argumento complexo:
\operatorname{tanh}(a+\mathrm{j}b) = \frac{\operatorname{sinh}(2a) + \mathrm{j}\sin(2b)}{\operatorname{cosh}(2a) + \cos(2b)},
onde a=\operatorname{Re}(\gamma l) e b=\operatorname{Im}(\gamma l).
  • Aqui a = 1{,}842068 e b = 2.
  • Calcular as funções hiperbólicas e trigonométricas necessárias:
    • 2a = 3{,}684136.
    • \operatorname{sinh}(2a) \approx 19{,}880 (cálculo via exponenciais: \operatorname{sinh} x = (e^x-e^{-x})/2).
    • \operatorname{cosh}(2a) \approx 19{,}906 (cálculo via \operatorname{cosh} x = (e^x+e^{-x})/2).
    • \sin(2b) = \sin(4) \approx -0{,}7568025.
    • \cos(2b) = \cos(4) \approx -0{,}6536436.
  • Substituindo na identidade:
\operatorname{tanh}(\gamma l) \approx \frac{19{,}880 + \mathrm{j}(-0{,}7568025)}{19{,}906 + (-0{,}6536436)} = \frac{19{,}880 - \mathrm{j}\,0{,}7568025}{19{,}2523564}.
  • Dividindo os termos reais e imaginários pela parte real do denominador:
\operatorname{tanh}(\gamma l) \approx 1{,}03272 - \mathrm{j}\,0{,}03933.

Passo 5

Calcular Z_{\text{in}} usando a fórmula da linha.
  • Primeiro calcule Z_0\operatorname{tanh}(\gamma l):
Z_0\operatorname{tanh}(\gamma l) = (30 + \mathrm{j}60)\,(1{,}03272 - \mathrm{j}0{,}03933).
Fazendo a multiplicação complexa (mostrando os termos):
  • Parte real: 30\cdot 1{,}03272 + 60\cdot 0{,}03933 \approx 30{,}9816 + 2{,}3598 = 33{,}3414.
  • Parte imaginária: 60\cdot 1{,}03272 - 30\cdot 0{,}03933 \approx 61{,}9632 - 1{,}1799 = 60{,}7833.
    Logo
Z_0\operatorname{tanh}(\gamma l) \approx 33{,}3414 + \mathrm{j}\,60{,}7833\\ \Omega.
  • Agora compute Z_L + Z_0\operatorname{tanh}(\gamma l) e Z_0 + Z_L\operatorname{tanh}(\gamma l).
    • Z_L + Z_0\operatorname{tanh}(\gamma l) \approx (20 + \mathrm{j}50) + (33{,}3414 + \mathrm{j}60{,}7833) = 53{,}3414 + \mathrm{j}110{,}7833.
    • Primeiro calcule Z_L\operatorname{tanh}(\gamma l): Z_L\operatorname{tanh}(\gamma l) = (20 + \mathrm{j}50)(1{,}03272 - \mathrm{j}0{,}03933) \approx 22{,}6209 + \mathrm{j}50{,}8494.
    • Assim Z_0 + Z_L\operatorname{tanh}(\gamma l) \approx (30 + \mathrm{j}60) + (22{,}6209 + \mathrm{j}50{,}8494) = 52{,}6209 + \mathrm{j}110{,}8494.
  • Finalmente, aplicar a fórmula
Z_{\text{in}} = Z_0\;\frac{Z_L + Z_0\operatorname{tanh}(\gamma l)}{Z_0 + Z_L\operatorname{tanh}(\gamma l)}.
  • Calcule a razão complexa
R = \frac{53{,}3414 + \mathrm{j}110{,}7833}{52{,}6209 + \mathrm{j}110{,}8494}.
Fazendo a divisão complexa (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador) obtém-se
R \approx 1{,}00198 - \mathrm{j}\,0{,}00554.
  • Multiplicando por Z_0:
Z_{\text{in}} = (30 + \mathrm{j}60)\,(1{,}00198 - \mathrm{j}0{,}00554) \approx 30{,}3916 + \mathrm{j}\,59{,}9527\\ \Omega.
(obs.: arredondei os termos mantendo precisão adequada; note que Z_{\text{in}} ficou bem próximo de Z_0 porque a linha é relativamente longa com atenuação significante).

Passo 6

Calcular a corrente na entrada da linha. O gerador de tensão \,V_g=10\angle 0^\circ\\ \mathrm{V} em série com Z_g vê a impedância Z_{\text{in}}. Assim
I_{\text{in}} = \frac{V_g}{Z_g + Z_{\text{in}}}.
  • Somar Z_g + Z_{\text{in}} = 50 + (30{,}3916 + \mathrm{j}59{,}9527) = 80{,}3916 + \mathrm{j}59{,}9527\\ \Omega.
  • Dividir o fasor da tensão por essa impedância:
I_{\text{in}} = \frac{10\angle 0^\circ}{80{,}3916 + \mathrm{j}59{,}9527}.
Fazendo a divisão complexa (multiplicar numerador e denominador pelo conjugado):
  • Denominador em módulo ao quadrado: (80{,}3916)^2 + (59{,}9527)^2 \approx 10057{,}14.
  • Numerador complexo após multiplicar pelo conjugado: 10(80{,}3916 - \mathrm{j}59{,}9527).
  • Portanto o fasor resultante é
I_{\text{in}} \approx 0{,}079918 - \mathrm{j}\,0{,}05962\\ \mathrm{A}.
  • Em forma fasorial (magnitude e fase):
    • Magnitude: |I_{\text{in}}| \approx 0{,}0997\\ \mathrm{A}.
    • Fase: \angle I_{\text{in}} \approx -36{,}6^\circ.

Resposta

I_{\text{in}} \approx 0{,}0997\angle -36{,}6^\circ\\ \mathrm{A}

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