17^{\circ} ) Calcule \iint_{R} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1} d A, onde R é a região x^{2}+y^{2} \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{R}\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}\,dA,
onde R é o disco definido por x^{2}+y^{2}\le4. Como a região é circular e a função depende de x^{2}+y^{2}, vamos usar coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x^{2}+y^{2}+1 = r^{2}+1,
logo a integral fica
\iint_{R}\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}\,dA =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2}\frac{1}{r^{2}+1}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em r:
\int_{0}^{2}\frac{r}{r^{2}+1}\,dr.
Com a substituição u=r^{2}+1, du=2r\,dr, obtemos
\int_{0}^{2}\frac{r}{r^{2}+1}\,dr =\frac12\int_{1}^{5}\frac{1}{u}\,du =\frac12\bigl[\ln(u)\bigr]_{1}^{5} =\frac12\ln(5).

Passo 4

Agora a parte em \theta é simples:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
Multiplicando pelo resultado de r, temos
2\pi\cdot\frac12\ln(5) =\pi\ln(5).

Resposta

\pi\ln(5)

Exercícios relacionados