24^{\circ} ) Calcule a área da região definida pelas curvas x^{2}+y^{2}=6 e x=y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região comum ao círculo
x^{2}+y^{2}=6
e à parábola
x=y^{2}.
O conteúdo principal aqui é o cálculo de área por integração aplicada a regiões planas, usando como variável de integração y, já que as fronteiras verticais naturais são dadas por x=y^{2} (lado esquerdo) e pela semicircunferência direita x=\sqrt{6-y^{2}}.

Passo 2

Precisamos achar os pontos de interseção entre as curvas. Igualando
x=y^{2}\quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}=6
temos
(y^{2})^{2}+y^{2}-6=0\quad\Longrightarrow\quad y^{4}+y^{2}-6=0.
Seja t=y^{2}. Então
t^{2}+t-6=0\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\{2,\,-3\}.
Descartando t=-3, ficamos com y^{2}=2, ou seja
y=\pm\sqrt{2},\quad x=y^{2}=2.
Os pontos de interseção são \bigl(2,\sqrt{2}\bigr) e \bigl(2,-\sqrt{2}\bigr).

Passo 3

Esboçando mentalmente, para cada y\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}] a região vai de
x_{\text{esq}}=y^{2}
até
x_{\text{dir}}=\sqrt{6-y^{2}}.
Portanto, a área A é
A =\int_{y=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\bigl[\sqrt{6-y^{2}}-y^{2}\bigr]\,dy =2\int_{0}^{\sqrt{2}}\bigl[\sqrt{6-y^{2}}-y^{2}\bigr]\,dy,
onde usei a simetria em y.

Passo 4

Separamos em duas integrais:
I_{1}=\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{6-y^{2}}\,dy, \quad I_{2}=\int_{0}^{\sqrt{2}}y^{2}\,dy.
Para I_{1} usamos a primitiva
\int\sqrt{a^{2}-y^{2}}\,dy =\frac{y}{2}\sqrt{a^{2}-y^{2}} +\frac{a^{2}}{2}\arcsin\!\bigl(\tfrac{y}{a}\bigr),
com a=\sqrt{6}. Assim,
I_{1} =\Bigl[\frac{y}{2}\sqrt{6-y^{2}}+3\arcsin\!\bigl(\tfrac{y}{\sqrt{6}}\bigr)\Bigr]_{0}^{\sqrt{2}} =\sqrt{2}+3\arcsin\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr).
Para I_{2} temos
I_{2} =\Bigl[\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{\sqrt{2}} =\frac{(\sqrt{2})^{3}}{3} =\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Logo,
A =2\bigl(I_{1}-I_{2}\bigr) =2\Bigl(\sqrt{2}+3\arcsin\!\tfrac{1}{\sqrt{3}}-\tfrac{2\sqrt{2}}{3}\Bigr) = \frac{2\sqrt{2}}{3}+6\arcsin\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr).

Resposta

A = \frac{2\sqrt{2}}{3} \;+\;6\,\arcsin\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr).

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