15^{\circ} ) Determine os momentos de inércia I_{x}, I_{y} e I_{0} de um disco Homogêneo D com densidade \rho(x, y)=r, centro na origem e raio a.

Passo 1

O enunciado pede os momentos de inércia I_{x}, I_{y} e I_{0} de uma lâmina circular D de raio a centrada na origem, com densidade \rho(x,y)=r, onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Vamos usar a definição de momento de inércia e fazer mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Pela definição de momentos de inércia de uma lâmina plana, temos
I_{x}=\iint_{D}y^{2}\,\rho(x,y)\,dA,\quad I_{y}=\iint_{D}x^{2}\,\rho(x,y)\,dA,\quad I_{0}=\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,\rho(x,y)\,dA.

Passo 3

Em coordenadas polares usamos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad \rho=r,\quad dA=r\,dr\,d\theta,
e a região D vira 0\le r\le a,\;0\le\theta\le2\pi. Assim
I_{x} =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a}(r\sin\theta)^{2}\,(r)\,(r\,dr\,d\theta) =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a}r^{4}\sin^{2}\theta\,dr\,d\theta.
Calculando separadamente
\int_{0}^{a}r^{4}\,dr=\frac{a^{5}}{5}, \qquad \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\pi,
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I_{x}=\pi\;\frac{a^{5}}{5}=\frac{\pi\,a^{5}}{5}.

Passo 4

Por simetria circular, o cálculo de I_{y} é idêntico trocando \sin^{2}\theta por \cos^{2}\theta, e
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\pi
implica
I_{y}=\frac{\pi\,a^{5}}{5}.

Passo 5

Finalmente, o momento em relação ao eixo que passa pela origem é
I_{0}=I_{x}+I_{y} =\frac{\pi\,a^{5}}{5}+\frac{\pi\,a^{5}}{5} =\frac{2\pi\,a^{5}}{5}.

Resposta

I_{x}=\dfrac{\pi\,a^{5}}{5} I_{y}=\dfrac{\pi\,a^{5}}{5} I_{0}=\dfrac{2\pi\,a^{5}}{5}

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