17^{\circ} ) Determine a derivada direcional das funções abaixo no ponto P dado e na direção indicada.
f(x, y)=x^{3} y^{2} ; P(2,-1) ; \vec{a}=3 i-4 j

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^3y^2 no ponto P(2,-1) na direção do vetor \vec a=3\,\mathbf{i}-4\,\mathbf{j}. Para isso vamos usar que a derivada direcional na direção do vetor unitário \mathbf{u} vale
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f é o gradiente de f.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2y^2, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2x^3y.

Passo 3

Avaliaremos o gradiente em P(2,-1):
\nabla f(2,-1) = \bigl(3\cdot2^2\cdot(-1)^2,\;2\cdot2^3\cdot(-1)\bigr) = (3\cdot4\cdot1,\;2\cdot8\cdot(-1)) = (12,\,-16).

Passo 4

Normalizamos o vetor \vec a=(3,-4). Seu comprimento é
\|\vec a\|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5,
logo o vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{1}{5}(3,-4)=\Bigl(\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\Bigr).

Passo 5

A derivada direcional é
D_{\mathbf{u}}f(2,-1) =\nabla f(2,-1)\cdot\mathbf{u} =12\cdot\tfrac{3}{5}+(-16)\cdot\bigl(-\tfrac{4}{5}\bigr) =\frac{36+64}{5} =\frac{100}{5} =20.

Resposta

A derivada direcional de f em P(2,-1) na direção de \vec a vale 20.

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