19^{\circ} ) Determine a equação da reta normal ao elipsóide 4 x^{2}+9 y^{2}+z^{2}-49=0 no ponto P(1,-2,3).

Passo 1

O enunciado pede a reta normal ao elipsóide
4x^{2}+9y^{2}+z^{2}-49=0
no ponto P(1,-2,3). Vamos usar que, para uma superfície dada por F(x,y,z)=\text{constante}, o vetor normal em cada ponto é \nabla F.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=4x^{2}+9y^{2}+z^{2}-49.
O gradiente de F é
\nabla F(x,y,z)=\Bigl(\frac{\partial F}{\partial x},\,\frac{\partial F}{\partial y},\,\frac{\partial F}{\partial z}\Bigr)=(8x,\,18y,\,2z).

Passo 3

Avaliamo-lo em P(1,-2,3):
\nabla F(1,-2,3)=(8\cdot1,\,18\cdot(-2),\,2\cdot3)=(8,\,-36,\,6).
Esse é o vetor direção da reta normal.

Passo 4

A reta normal, em forma paramétrica, parte de P e segue a direção \nabla F(1,-2,3). Logo,
\begin{cases} x=1+8t,\\\ y=-2-36t,\\\ z=3+6t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Em forma simétrica, basta repartir pelas componentes da direção:
\frac{x-1}{8}=\frac{y+2}{-36}=\frac{z-3}{6}.

Resposta

A equação da reta normal é
\begin{cases} x=1+8t,\\\ y=-2-36t,\\\ z=3+6t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R},
ou, equivalentemente,
\frac{x-1}{8}=\frac{y+2}{-36}=\frac{z-3}{6}.

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