17- O colesterol sintético consiste no enantiômero do colesterol natural. Uma mistura do colesterol natural e sintético tem uma rotação específica [\alpha]^{20}{ }_{\mathrm{D}}=-13^{\circ}. Qual é a fração do colesterol natural nessa mistura?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é a fração do colesterol natural nessa mistura?”
Informações dadas:
  • O colesterol sintético é o enantiômero do colesterol natural (ou seja, tem a mesma magnitude de rotação específica, mas sinal oposto).
  • A mistura dos dois tem rotação específica \,[\alpha]^{20}_{\mathrm{D}} = -13^\circ.
  • Não é fornecido numericamente aqui o valor da rotação específica do colesterol natural puro; vou denotá‑lo por [\alpha]^{20}_{\mathrm{D},\text{puro}}.
    Não começamos a resolver ainda; apenas organizei o que foi pedido e as informações que temos.

Passo 2

Conceito principal (explicado passo a passo, sem pular etapas): enantiômeros e mistura óptica.
  • Um enantiômero gira a luz polarizada no mesmo valor absoluto mas em sentido contrário ao do outro. Se o enantiômero natural tem rotação específica [\alpha]^{20}_{\mathrm{D},\text{puro}}=r, o enantiômero sintético terá [\alpha]^{20}_{\mathrm{D},\text{sint}}=-r.
  • Quando misturamos duas substâncias quirais que são enantiômeros puros, a rotação específica observada da mistura é a média ponderada (pelas frações molares, ou frações em que a propriedade é aditiva aqui) das rotações específicas de cada componente. Em termos diretos: a rotação da mistura é a soma das contribuições dos dois enantiômeros, ponderadas por suas frações.

Passo 3

Definições algébricas e notação:
  • Seja x a fração (entre 0 e 1) do colesterol natural na mistura.
  • A fração do colesterol sintético é então 1-x.
  • A rotação específica do colesterol natural puro é [\alpha]^{20}_{\mathrm{D},\text{puro}}=r. (Aqui r é um número positivo se o natural for dextrorrotatório; o sinal será tratado em conta.)
  • A rotação específica observada da mistura é [\alpha]^{20}_{\mathrm{D},\text{mistura}}=-13^\circ.

Passo 4

Montando a equação da mistura (passo a passo):
  • Contribuição do natural para a rotação da mistura: x\cdot r.
  • Contribuição do sintético (enantiômero): (1-x)\cdot(-r).
  • Soma das contribuições (rotação observada):
x\cdot r + (1-x)\cdot(-r) = [\alpha]^{20}_{\mathrm{D},\text{mistura}}.
  • Simplificando o lado esquerdo:
x r - (1-x) r = x r - r + x r = (2x-1)r.
Portanto a equação fica
(2x-1)r = [\alpha]^{20}_{\mathrm{D},\text{mistura}}.

Passo 5

Isolando x (resolver para a fração do natural):
  • Da equação (2x-1)r = [\alpha]^{20}_{\mathrm{D},\text{mistura}} temos
2x-1 = \frac{[\alpha]^{20}_{\mathrm{D},\text{mistura}}}{r}.
  • Somando 1 e dividindo por 2:
x = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{[\alpha]^{20}_{\mathrm{D},\text{mistura}}}{r}\right).
Essa é a fórmula geral: a fração do enantiômero natural é metade de 1 mais a razão entre a rotação observada e a rotação do enantiômero puro.

Passo 6

Substituindo o valor observado [\alpha]^{20}_{\mathrm{D},\text{mistura}}=-13^\circ:
  • Colocando o número na fórmula:
x = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{-13^\circ}{r}\right) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{13^\circ}{r}\right),
onde r=\,[\alpha]^{20}_{\mathrm{D},\text{puro}} é a rotação específica do colesterol natural puro.
Interpretação prática: se você souber o valor de r (isso depende do solvente e da temperatura; deve ser o valor tabulado ou medido para o colesterol puro nas mesmas condições), basta substituir e calcular x.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (para você saber como aplicar na prova):
  • Se o valor tabulado for, por exemplo, r=+28^\circ (apenas um exemplo), então
x = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{13}{28}\right) = \frac{1}{2}\left(1 - 0,4642857\right) = \frac{1}{2}\cdot 0,5357143 \approx 0,2679,
ou seja, cerca de 26{,}8\% do colesterol seria o enantiômero natural nesse exemplo.
Obs.: esse número muda se r for outro valor; o procedimento é sempre o mesmo.

Resposta

\displaystyle x=\frac{1}{2}\left(1-\frac{13^\circ}{[\alpha]^{20}_{\mathrm{D},\text{puro}}}\right)

Exercícios relacionados