Sejam W1=>=r((1,0,-1),(1,2,1)) e W2=>=r((1,1,1),(1,0,0)).
b) Determine uma base para W1 cap W2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente tem dois subespaços e gerados por certos vetores em . A pergunta é: qual é uma base para a interseção ? Ou seja, queremos encontrar todos os vetores que estão em e em ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como os subespaços são formados por combinações lineares e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os geradores de cada subespaço. Para W1 = >=r 10-1, 121 , temos:
W2 = >=r 111, 100
E para :
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores que geram , e o mesmo vale para .

Passo 3

Agora, vamos expressar um vetor v = a 10-1 + b 121 que está na interseção v = c 111 + d 100 . Isso quer dizer que pode ser escrito de duas maneiras:
  1. Como combinação linear dos geradores de :
  1. Como combinação linear dos geradores de :

Passo 4

Vamos igualar essas duas expressões para o vetor a 10-1 + b 121 = c 111 + d 100 :
a + b = c + d 0a + 2b = c + 0d -1a + b = c + 0d
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Do segundo equação:
2b = c
Da terceira equação:
-a + b = c
Substituindo -a + b = 2b na terceira equação:
-a = b
a = -b
a + b = c + d
Agora, da primeira equação:
-b + b = 2b + d
Substituindo 0 = 2b + d e d = -2b :

Passo 6

Agora que encontramos v = a 10-1 + b 121 , v = (-b) 10-1 + b 121 e v = -b0b + b2bb em termos de v = 02b2b , podemos expressar o vetor v = b 022 em função de :

Resposta

Uma base para 022 é o vetor .

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