3.17 Um cubo é definido por 1<x, y, z<1,2. Se \mathbf{D}=2 x^{2} y \mathbf{a}_{x}+3 x^{2} y^{2} \mathbf{a}_{y} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} : (a) Aplique a lei de Gauss para calcular o fluxo total que deixa a superficie fechada do cubo. (b) Calcule \nabla \cdot \mathbf{D} no centro do cubo. (c) Estime a carga total dentro do cubo usando a Equação (8).
Passo 1
O enunciado dá um cubo e um campo \mathbf{D} e pede três coisas. Vou listar com calma o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
O cubo é o conjunto de pontos com coordenadas x,y,z tais que 1 < x,y,z < 1,2. Ou seja, cada aresta vai de x=1 até x=1,2 (mesmo para y e z).
O campo de densidade de fluxo é \mathbf{D} = 2 x^{2} y\,\mathbf{a}_{x} + 3 x^{2} y^{2}\,\mathbf{a}_{y} (em {\rm C/m^{2}}).
Perguntas do enunciado:
(a) Aplique a lei de Gauss para calcular o fluxo total que sai da superfície fechada do cubo.
(b) Calcule \nabla\cdot\mathbf{D} no centro do cubo.
(c) Estime a carga total dentro do cubo usando a Equação (8) (ou seja, usando a aproximação que usa o valor do divergente no centro).
Não vou resolver nada ainda; agora já sei o que pedir e os limites são x,y,z\in[1,\,1,2].
Passo 2
Rápida revisão da teoria necessária (do jeito simples e prático):
A lei de Gauss no formato integral (ou Teorema da Divergência) diz que o fluxo total de \mathbf{D} através da superfície fechada S que envolve um volume V é igual à integral de volume do divergente de \mathbf{D}:
A diferença é 0,000176\\ \text{C}, ou cerca de 0{,}17\% de erro relativo — a aproximação com o divergente no centro ficou muito boa porque o volume é pequeno e o divergente não varia fortemente dentro do cubo.