3.17 Um cubo é definido por 1<x, y, z<1,2. Se \mathbf{D}=2 x^{2} y \mathbf{a}_{x}+3 x^{2} y^{2} \mathbf{a}_{y} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} : (a) Aplique a lei de Gauss para calcular o fluxo total que deixa a superficie fechada do cubo. (b) Calcule \nabla \cdot \mathbf{D} no centro do cubo. (c) Estime a carga total dentro do cubo usando a Equação (8).

Passo 1

O enunciado dá um cubo e um campo \mathbf{D} e pede três coisas. Vou listar com calma o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
  • O cubo é o conjunto de pontos com coordenadas x,y,z tais que 1 < x,y,z < 1,2. Ou seja, cada aresta vai de x=1 até x=1,2 (mesmo para y e z).
  • O campo de densidade de fluxo é \mathbf{D} = 2 x^{2} y\,\mathbf{a}_{x} + 3 x^{2} y^{2}\,\mathbf{a}_{y} (em {\rm C/m^{2}}).
Perguntas do enunciado:
(a) Aplique a lei de Gauss para calcular o fluxo total que sai da superfície fechada do cubo.
(b) Calcule \nabla\cdot\mathbf{D} no centro do cubo.
(c) Estime a carga total dentro do cubo usando a Equação (8) (ou seja, usando a aproximação que usa o valor do divergente no centro).
Não vou resolver nada ainda; agora já sei o que pedir e os limites são x,y,z\in[1,\,1,2].

Passo 2

Rápida revisão da teoria necessária (do jeito simples e prático):
  • A lei de Gauss no formato integral (ou Teorema da Divergência) diz que o fluxo total de \mathbf{D} através da superfície fechada S que envolve um volume V é igual à integral de volume do divergente de \mathbf{D}:
\Phi_{\text{total}}=\iint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{D}\;dV.
Isso é muito útil porque, em vez de calcular fluxos nas seis faces do cubo, podemos calcular uma integral de volume simples.
  • A definição de divergente para um campo \mathbf{D}=D_x\mathbf{a}_x+D_y\mathbf{a}_y+D_z\mathbf{a}_z é
\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}.
  • Fisicamente, \nabla\cdot\mathbf{D} é a densidade volumétrica de carga livre \rho_v (unidade {\rm C/m^3}), isto é, \rho_v=\nabla\cdot\mathbf{D}.
  • Para a estimativa pedida na parte (c), a Equação (8) que o enunciado menciona normalmente é a aproximação
Q_{\text{total}}\approx (\nabla\cdot\mathbf{D})_{\text{centro}}\times\text{Volume},
isto é, assume-se divergente aproximadamente constante e igual ao valor no centro.

Passo 3

Calcular \nabla\cdot\mathbf{D} simbolicamente a partir de \mathbf{D}.
Temos D_x=2x^{2}y, D_y=3x^{2}y^{2} e D_z=0. Aplicando a definição:
\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{\partial}{\partial x}(2x^{2}y)+\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}y^{2})+\frac{\partial}{\partial z}(0).
Agora derivadas parciais (tratando as outras coordenadas como constantes):
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^{2}y)=2y\cdot\dfrac{d}{dx}(x^{2})=2y\cdot 2x=4xy.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(3x^{2}y^{2})=3x^{2}\cdot\dfrac{d}{dy}(y^{2})=3x^{2}\cdot 2y=6x^{2}y.
  • A derivada em z é zero porque D_z=0.
Portanto
\nabla\cdot\mathbf{D}=4xy+6x^{2}y.
Se quiser factorizar:
\nabla\cdot\mathbf{D}=2xy(2+3x).

Passo 4

Usar o Teorema da Divergência para calcular o fluxo total (parte (a)). Montar a integral de volume.
O fluxo total é
\Phi_{\text{total}}=\iiint_{V}(4xy+6x^{2}y)\,dV,
onde V é o cubo com x,y,z\in[1,\,1,2]. Como o integrando não depende de z, a integral em z só multiplica pelo comprimento na direção z, que é
\Delta z=1,2-1=0,2.
Então
\Phi_{\text{total}}=\left(\int_{z=1}^{1,2}dz\right)\left(\int_{y=1}^{1,2}\int_{x=1}^{1,2}(4xy+6x^{2}y)\,dx\,dy\right) =0,2\cdot I_{xy},
com
I_{xy}=\int_{y=1}^{1,2}\int_{x=1}^{1,2}(4xy+6x^{2}y)\,dx\,dy.
Calcule a integral interna em x:
\int_{x=1}^{1,2}(4xy+6x^{2}y)\,dx = y\int_{x=1}^{1,2}(4x+6x^{2})\,dx = y\left[2x^{2}+2x^{3}\right]_{1}^{1,2}.
Avaliações numéricas:
  • para x=1,2: x^{2}=1,44 e x^{3}=1,728. Então
2x^{2}+2x^{3}=2\cdot1,44+2\cdot1,728=2,88+3,456=6,336.
  • para x=1: 2x^{2}+2x^{3}=2\cdot1+2\cdot1=4.
    Diferença:
\left[2x^{2}+2x^{3}\right]_{1}^{1,2}=6,336-4=2,336.
Portanto a integral em x é y\cdot 2,336.
Agora integrar em y:
I_{xy}=\int_{y=1}^{1,2} 2,336\,y\,dy = 2,336\cdot\left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{1}^{1,2} =1,168\left(1,44-1\right)=1,168\cdot 0,44=0,51392.
Finalmente multiplicar por 0,2 (integração em z):
\Phi_{\text{total}}=0,2\cdot 0,51392=0,102784.
Unidade: o fluxo de \mathbf{D} através da superfície é igual à carga total livre dentro do cubo, então a unidade é coulomb ( {\rm C}).

Passo 5

Calcular \nabla\cdot\mathbf{D} no centro do cubo (parte (b)).
As coordenadas do centro são as médias dos extremos:
x_{\text{c}}=y_{\text{c}}=z_{\text{c}}=\frac{1+1,2}{2}=1,1.
Usando a fórmula do Passo 3,
\nabla\cdot\mathbf{D}(1,1,1)=4x y+6x^{2}y\Big|_{x=y=1,1}.
Cálculos:
x^{2}=1,1^{2}=1,21,\qquad x^{3}=1,1^{3}=1,331.
Então
4xy=4\cdot1,1\cdot1,1=4\cdot1,21=4,84,
6x^{2}y=6\cdot1,21\cdot1,1=6\cdot1,331=7,986.
Somando:
\nabla\cdot\mathbf{D}\big|_{\text{centro}}=4,84+7,986=12,826\quad({\rm C/m^{3}}).
Interpretação física curta: esse número é a densidade de carga livre aproximada no centro do cubo, em {\rm C/m^{3}}.

Passo 6

Estimar a carga total no cubo usando a Equação (8) (parte (c)): Q_{\text{est}}\approx(\nabla\cdot\mathbf{D})_{\text{centro}}\times \text{Volume}.
  • Volume do cubo: cada aresta tem comprimento 1,2-1=0,2, logo
V=(0,2)^{3}=0,008\quad({\rm m^{3}}).
  • Multiplicando:
Q_{\text{est}}=(\nabla\cdot\mathbf{D})_{\text{centro}}\cdot V =12,826\cdot 0,008=0,102608\quad({\rm C}).
Comparação rápida com o valor exato do Passo 4:
\Phi_{\text{total}}_{\text{(exato)}}=0,102784\\ \text{C},\qquad Q_{\text{est}}=0,102608\\ \text{C}.
A diferença é 0,000176\\ \text{C}, ou cerca de 0{,}17\% de erro relativo — a aproximação com o divergente no centro ficou muito boa porque o volume é pequeno e o divergente não varia fortemente dentro do cubo.

Resposta

(a) \Phi_{\text{total}}=0,102784\\ \text{C}
(b) \nabla\cdot\mathbf{D}\big|_{\text{centro}}=12,826\\ \text{C/m}^{3}
(c) Q_{\text{est}}=0,102608\\ \text{C}

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