Dados os vetores
, encontre: (a) um vetor unitário na direção de
; (b) a intensidade de
c
.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
Pede três coisas:
(a) um vetor unitário na direção de ;
(b) a intensidade (módulo) de ;
(c) o produto .
(a) um vetor unitário na direção de
(b) a intensidade (módulo) de
(c) o produto
Lista de informações relevantes retiradas do enunciado:
- Componentes de
: na base . - Componentes de
: . - As operações pedidas são combinações lineares, cálculo de módulo e multiplicação escalar por vetor.
Passo 2
Relembrando conceitos (passo-a-passo, sem pular etapas):
- Para somar e multiplicar vetores por escalares, trate componentes coordenada a coordenada. Ex.: se
e , então . - O módulo (intensidade) de
é
- Um vetor unitário na direção de
é
ou seja, divide-se cada componente pelo módulo.
- Quando multiplicar um vetor por um escalar
, as componentes multiplicam por : .
Agora aplicamos isso às três questões.
Passo 3
Resolvendo (a): calcular
, achar seu módulo e normalizar.
Primeiro calcule
. Como
,
Calcule
. Como
,
Some os dois vetores componente a componente:
Agora o módulo de
é
Simplificando
: fatorando
, obtemos
Portanto o vetor unitário na direção de
é
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Passo 4
Resolvendo (b): calcular a intensidade de
.
Primeiro compute
. Como
,
Escreva
e
. Some os três vetores:
Somando coordenada a coordenada:
Agora o módulo é
Simplificando
: note que
, então
Passo 5
Resolvendo (c): calcular
.
Comece pelos módulos individuais.
Calcule
com
:
Calcule
com
:
Como
, temos
O produto escalar dos módulos é
Agora calcule
:
Multiplicando o escalar
pelo vetor
obtemos
Fazendo a multiplicação nas componentes:
Resposta
(a)
(b)
(c)