Dados os vetores \mathbf{M}=-10 \mathbf{a}_{x}+4 \mathbf{a}_{y}-8 \mathbf{a}_{z} \mathbf{e} \mathbf{N}=8 \mathbf{a}_{x}+7 \mathbf{a}_{y}-2 \mathbf{a}_{z}, encontre: (a) um vetor unitário na direção de -\mathbf{M}+2 \mathbf{N}; (b) a intensidade de 5 \mathbf{a}_{x}+\mathbf{N}-\mathbf{3} \mathbf{M} ;( c )|\mathbf{M}||2 \mathbf{N}|(\mathbf{M}+\mathbf{N}).

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\mathbf{M}=-10\mathbf{a}_x+4\mathbf{a}_y-8\mathbf{a}_z, \qquad \mathbf{N}=8\mathbf{a}_x+7\mathbf{a}_y-2\mathbf{a}_z.
Pede três coisas:
(a) um vetor unitário na direção de -\mathbf{M}+2\mathbf{N};
(b) a intensidade (módulo) de 5\mathbf{a}_x+\mathbf{N}-3\mathbf{M};
(c) o produto |\mathbf{M}||2\mathbf{N}|(\mathbf{M}+\mathbf{N}).
Lista de informações relevantes retiradas do enunciado:
  • Componentes de \mathbf{M}: (-10,\,4,\,-8) na base (\mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z).
  • Componentes de \mathbf{N}: (8,\,7,\,-2).
  • As operações pedidas são combinações lineares, cálculo de módulo e multiplicação escalar por vetor.

Passo 2

Relembrando conceitos (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • Para somar e multiplicar vetores por escalares, trate componentes coordenada a coordenada. Ex.: se \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z) e \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z), então \mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_x+v_x,u_y+v_y,u_z+v_z).
  • O módulo (intensidade) de \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
  • Um vetor unitário na direção de \mathbf{v} é
\hat{\mathbf{v}}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|},
ou seja, divide-se cada componente pelo módulo.
  • Quando multiplicar um vetor por um escalar k, as componentes multiplicam por k: k\mathbf{v}=(kv_x,kv_y,kv_z).
    Agora aplicamos isso às três questões.

Passo 3

Resolvendo (a): calcular -\mathbf{M}+2\mathbf{N}, achar seu módulo e normalizar.
Primeiro calcule -\mathbf{M}. Como \mathbf{M}=(-10,4,-8),
-\mathbf{M}=(10,-4,8).
Calcule 2\mathbf{N}. Como \mathbf{N}=(8,7,-2),
2\mathbf{N}=(16,14,-4).
Some os dois vetores componente a componente:
-\mathbf{M}+2\mathbf{N}=(10+16,\;-4+14,\;8-4)=(26,10,4).
Agora o módulo de \mathbf{v}=(26,10,4) é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{26^2+10^2+4^2}=\sqrt{676+100+16}=\sqrt{792}.
Simplificando \sqrt{792}: fatorando 792=36\cdot22, obtemos
\|\mathbf{v}\|=6\sqrt{22}.
Portanto o vetor unitário na direção de -\mathbf{M}+2\mathbf{N} é
\hat{\mathbf{u}}=\frac{1}{6\sqrt{22}}(26\mathbf{a}_x+10\mathbf{a}_y+4\mathbf{a}_z).
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
\hat{\mathbf{u}}=\frac{1}{3\sqrt{22}}(13\mathbf{a}_x+5\mathbf{a}_y+2\mathbf{a}_z).

Passo 4

Resolvendo (b): calcular a intensidade de 5\mathbf{a}_x+\mathbf{N}-3\mathbf{M}.
Primeiro compute -3\mathbf{M}. Como \mathbf{M}=(-10,4,-8),
-3\mathbf{M}=(-3)(-10,4,-8)=(30,-12,24).
Escreva 5\mathbf{a}_x=(5,0,0) e \mathbf{N}=(8,7,-2). Some os três vetores:
5\mathbf{a}_x+\mathbf{N}-3\mathbf{M}=(5,0,0)+(8,7,-2)+(30,-12,24).
Somando coordenada a coordenada:
(5+8+30,\;0+7-12,\;0-2+24)=(43,-5,22).
Agora o módulo é
\|(43,-5,22)\|=\sqrt{43^2+(-5)^2+22^2}=\sqrt{1849+25+484}=\sqrt{2358}.
Simplificando \sqrt{2358}: note que 2358=9\cdot262, então
\|(43,-5,22)\|=3\sqrt{262}.

Passo 5

Resolvendo (c): calcular |\mathbf{M}||2\mathbf{N}|(\mathbf{M}+\mathbf{N}).
Comece pelos módulos individuais.
Calcule \|\mathbf{M}\| com \mathbf{M}=(-10,4,-8):
\|\mathbf{M}\|=\sqrt{(-10)^2+4^2+(-8)^2}=\sqrt{100+16+64}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}.
Calcule \|\mathbf{N}\| com \mathbf{N}=(8,7,-2):
\|\mathbf{N}\|=\sqrt{8^2+7^2+(-2)^2}=\sqrt{64+49+4}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}.
Como \|2\mathbf{N}\|=2\|\mathbf{N}\|, temos
\|2\mathbf{N}\|=2\cdot 3\sqrt{13}=6\sqrt{13}.
O produto escalar dos módulos é
\|\mathbf{M}\|\;\|2\mathbf{N}\|=(6\sqrt{5})(6\sqrt{13})=36\sqrt{65}.
Agora calcule \mathbf{M}+\mathbf{N}:
\mathbf{M}+\mathbf{N}=(-10+8,\;4+7,\;-8-2)=(-2,11,-10).
Multiplicando o escalar 36\sqrt{65} pelo vetor (-2,11,-10) obtemos
36\sqrt{65}\,(\mathbf{M}+\mathbf{N})=36\sqrt{65}\,(-2\mathbf{a}_x+11\mathbf{a}_y-10\mathbf{a}_z).
Fazendo a multiplicação nas componentes:
(-72\sqrt{65})\mathbf{a}_x+(396\sqrt{65})\mathbf{a}_y+(-360\sqrt{65})\mathbf{a}_z.

Resposta

(a) \displaystyle \hat{\mathbf{u}}=\frac{1}{3\sqrt{22}}\bigl(13\mathbf{a}_x+5\mathbf{a}_y+2\mathbf{a}_z\bigr)
(b) \displaystyle \|5\mathbf{a}_x+\mathbf{N}-3\mathbf{M}\|=3\sqrt{262}
(c) \displaystyle |\mathbf{M}||2\mathbf{N}|(\mathbf{M}+\mathbf{N})=-72\sqrt{65}\,\mathbf{a}_x+396\sqrt{65}\,\mathbf{a}_y-360\sqrt{65}\,\mathbf{a}_z

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