E6.7 Um sistema com realimentação negativa possui uma função de transferência de malha
L(s)=\frac{K(s+2)}{s(s-1)}
(a) Encontre o valor do ganho quando o \zeta das raízes em malha fechada é igual a 0,707. (b) Encontre o valor do ganho quando o sistema em malha fechada possuir duas raízes no eixo imaginário.

Passo 1

O enunciado dá a função de malha
L(s)=\frac{K(s+2)}{s(s-1)}
e pede duas coisas:
(a) encontrar o valor do ganho K quando o coeficiente de amortecimento \zeta das raízes em malha fechada vale 0,707;
(b) encontrar o valor do ganho K quando o sistema em malha fechada possuir duas raízes no eixo imaginário.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Tem-se realimentação negativa (assume-se feedback unitário).
  • K é o ganho a determinar.
  • Os polos em malha fechada são as raízes do polinômio de característica que depende de K.
    A resolução começa efetivamente no Passo 2.

Passo 2

Formar a equação característica em malha fechada (feedback unitário): a condição é
1+L(s)=0.
Substituindo L(s) obtemos a equação que determina os polos em malha fechada:
1+\frac{K(s+2)}{s(s-1)}=0.
Multiplicando ambos os lados por s(s-1) para eliminar denominador:
s(s-1)+K(s+2)=0.
Desenvolvendo s(s-1) e agrupando termos obtemos um polinômio quadrático em s:
s^2 - s + Ks + 2K = 0
ou seja
s^2 + (K-1)s + 2K = 0.
Este é o polinômio característico em malha fechada cujo coeficiente linear em s e termo constante dependem de K.

Passo 3

Relembrando a forma padrão de um sistema de segunda ordem e o significado das quantidades que usaremos:
  • A forma canônica de um sistema de segunda ordem é
s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0,
onde:
  • \zeta é o coeficiente de amortecimento (damping ratio). Valores típicos: \zeta=0 não amortecido, \zeta=1 criticamente amortecido, 0<\zeta<1 subamortecido (pólos complexos conjugados).
  • \omega_n é a frequência natural não amortecida (natural frequency), com unidades de rad/s.
    Para comparar, igualamos coeficientes entre a nossa equação
s^2 + (K-1)s + 2K = 0
e a forma padrão. Assim temos as igualdades (igualando coeficientes):
2\zeta\omega_n = K-1
e
\omega_n^2 = 2K.
Essas duas relações ligarão K, \zeta e \omega_n.

Passo 4

Resolver a parte (a): queremos K quando \zeta=0,707.
Primeiro, observar que 0,707 é aproximadamente 1/\sqrt{2}. Vou usar a forma simbólica \zeta=\dfrac{1}{\sqrt{2}} porque simplifica as contas e é consistente com 0,707.
Das relações do passo anterior:
2\zeta\omega_n = K-1 \qquad\text{e}\qquad \omega_n^2 = 2K.
Da segunda expressão tiramos \omega_n = \sqrt{2K} (tomando a raiz positiva porque \omega_n é uma frequência).
Substituindo \omega_n=\sqrt{2K} na primeira relação:
2\zeta\sqrt{2K}=K-1.
Agora substituir \zeta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}:
2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2K}=K-1.

Passo 5

Simplificar a equação do passo anterior cuidadosamente.
Calcule o fator à esquerda:
2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2K} = \frac{2}{\sqrt{2}}\sqrt{2K} = \sqrt{2}\sqrt{2K} = \sqrt{4K} =2\sqrt{K}.
Portanto a equação fica
2\sqrt{K}=K-1.
Para resolver razoavelmente, faça a substituição x=\sqrt{K} com x\ge0. Então K=x^2 e a equação vira
2x = x^2 - 1.
Reorganizando:
x^2 - 2x - 1 = 0.
Isto é uma quadrática em x. Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}.
Como x=\sqrt{K}\ge0, descartamos 1-\sqrt{2} (que é negativo) e ficamos com
x = 1+\sqrt{2}.
Logo
\sqrt{K}=1+\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad K=(1+\sqrt{2})^2.

Passo 6

Calcular K explicitamente e dar aproximação numérica.
Expandindo:
K=(1+\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}.
Se desejar a aproximação numérica, com \sqrt{2}\approx1,4142:
K \approx 3 + 2\cdot1,4142 = 3 + 2,8284 = 5,8284\\ (\text{aprox.}).
Também podemos obter a frequência natural associada, se quiser: \omega_n=\sqrt{2K}. Substituindo K=3+2\sqrt{2},
\omega_n=\sqrt{2(3+2\sqrt{2})} \approx 3,4142\\ \text{rad/s}.
(Isto é só uma informação adicional; o que o enunciado pediu na parte (a) é o valor de K.)

Passo 7

Resolver a parte (b): encontrar K quando o sistema em malha fechada possuir duas raízes no eixo imaginário.
Para um polinômio quadrático geral s^2 + a s + b = 0, ter raízes puramente imaginárias conjugadas \pm j\omega implica que o termo em s (o coeficiente a) seja zero e b>0. Intuitivamente, se as raízes são \pm j\omega então o polinômio é s^2+\omega^2, sem termo em s.
No nosso caso o coeficiente de s é K-1. Então a condição para termos polos no eixo imaginário é
K-1=0 \quad\Rightarrow\quad K=1.
Verificação rápida: com K=1 o polinômio fica
s^2 + (1-1)s + 2\cdot1 = s^2 + 2,
cuja raízes são s=\pm j\sqrt{2} — de fato duas raízes puramente imaginárias.

Resposta

(a) K=3+2\sqrt{2}\approx5,8284
(b) K=1

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