E6.7 Um sistema com realimentação negativa possui uma função de transferência de malha
(a) Encontre o valor do ganho quando
das raízes em malha fechada é igual a 0,707. (b) Encontre o valor do ganho quando o sistema em malha fechada possuir duas raízes no eixo imaginário.
Passo 1
O enunciado dá a função de malha
e pede duas coisas:
(a) encontrar o valor do ganho quando o coeficiente de amortecimento
das raízes em malha fechada vale
;
(b) encontrar o valor do ganho quando o sistema em malha fechada possuir duas raízes no eixo imaginário.
(a) encontrar o valor do ganho
(b) encontrar o valor do ganho
Informações relevantes que temos do enunciado:
- Tem-se realimentação negativa (assume-se feedback unitário).
-
é o ganho a determinar. - Os polos em malha fechada são as raízes do polinômio de característica que depende de
.
A resolução começa efetivamente no Passo 2.
Passo 2
Formar a equação característica em malha fechada (feedback unitário): a condição é
Substituindo
obtemos a equação que determina os polos em malha fechada:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominador:
Desenvolvendo
e agrupando termos obtemos um polinômio quadrático em
:
ou seja
Este é o polinômio característico em malha fechada cujo coeficiente linear em
e termo constante dependem de
.
Passo 3
Relembrando a forma padrão de um sistema de segunda ordem e o significado das quantidades que usaremos:
- A forma canônica de um sistema de segunda ordem é
onde:
-
é o coeficiente de amortecimento (damping ratio). Valores típicos: não amortecido, criticamente amortecido, subamortecido (pólos complexos conjugados). -
é a frequência natural não amortecida (natural frequency), com unidades de rad/s.
Para comparar, igualamos coeficientes entre a nossa equação
e a forma padrão. Assim temos as igualdades (igualando coeficientes):
e
Essas duas relações ligarão
,
e
.
Passo 4
Resolver a parte (a): queremos
quando
.
Primeiro, observar que
é aproximadamente
. Vou usar a forma simbólica
porque simplifica as contas e é consistente com
.
Das relações do passo anterior:
Da segunda expressão tiramos
(tomando a raiz positiva porque
é uma frequência).
Substituindo
na primeira relação:
Agora substituir
:
Passo 5
Simplificar a equação do passo anterior cuidadosamente.
Calcule o fator à esquerda:
Portanto a equação fica
Para resolver razoavelmente, faça a substituição
com
. Então
e a equação vira
Reorganizando:
Isto é uma quadrática em
. Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
Como
, descartamos
(que é negativo) e ficamos com
Logo
Passo 6
Calcular
explicitamente e dar aproximação numérica.
Expandindo:
Se desejar a aproximação numérica, com
:
Também podemos obter a frequência natural associada, se quiser:
. Substituindo
,
(Isto é só uma informação adicional; o que o enunciado pediu na parte (a) é o valor de
.)
Passo 7
Resolver a parte (b): encontrar
quando o sistema em malha fechada possuir duas raízes no eixo imaginário.
Para um polinômio quadrático geral
, ter raízes puramente imaginárias conjugadas
implica que o termo em
(o coeficiente
) seja zero e
. Intuitivamente, se as raízes são
então o polinômio é
, sem termo em
.
No nosso caso o coeficiente de
é
. Então a condição para termos polos no eixo imaginário é
Verificação rápida: com
o polinômio fica
cuja raízes são
— de fato duas raízes puramente imaginárias.
Resposta
(a)
(b)
(b)