17.7 Um fio de cobre com 15 \mathrm{~m}(49,2 pés ) de comprimento é resfriado de 40^{\circ} \mathrm{C} a -9^{\circ} \mathrm{C}\left(104^{\circ} \mathrm{F}\right. a \left.15^{\circ} \mathrm{F}\right). Qual é a variação no comprimento?

Passo 1

Dados do enunciado (tirados diretamente do enunciado): comprimento inicial L_{0}=15\\ \mathrm{m} (o enunciado também dá 49,2\\ \mathrm{ft}), temperatura inicial T_{i}=40^\circ\mathrm{C} (o enunciado também dá 104^\circ\mathrm{F}) e temperatura final T_{f}=-9^\circ\mathrm{C} (o enunciado também dá 15^\circ\mathrm{F}). A pergunta é: “Qual é a variação no comprimento?” — ou seja, calcular \Delta L.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (apresento e explico): a variação linear de comprimento para um corpo quando sua temperatura muda, em pequenas variações de temperatura, é dada por
\Delta L = \alpha\,L_{0}\,\Delta T.
Aqui:
  • \Delta L é a variação do comprimento (positivo se alarga, negativo se contrai);
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material (unidades: ^\circ\mathrm{C}^{-1});
  • L_{0} é o comprimento inicial (na temperatura inicial);
  • \Delta T é a variação de temperatura, \Delta T = T_{f}-T_{i} (em ^\circ\mathrm{C}).
    Essa fórmula é uma aproximação linear válida quando as variações de temperatura não são enormes — e aqui \Delta T é moderada, então serve bem.

Passo 3

Escolha do coeficiente para cobre: um valor típico usado em exercícios é
\alpha_{\text{Cu}} = 1{,}7\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Explicando: esse número significa que, para cada aumento de 1^\circ\mathrm{C}, o comprimento muda em cerca de 1{,}7\times 10^{-5} vezes o comprimento original. Se alguém usar 1{,}6\times10^{-5} ou 1{,}8\times10^{-5} o resultado muda só um pouco; depende da fonte, mas usaremos 1{,}7\times10^{-5} como valor padrão.

Passo 4

Calcular a variação de temperatura \Delta T:
\Delta T = T_{f}-T_{i} = -9^\circ\mathrm{C}-40^\circ\mathrm{C} = -49^\circ\mathrm{C}.
Observação didática: usamos graus Celsius aqui; a diferença de temperatura em Celsius e Kelvin é a mesma, então não há problema.

Passo 5

Aplicar a fórmula e fazer as contas passo a passo:
primeiro calcule \alpha L_{0}:
\alpha L_{0} = \left(1{,}7\times10^{-5}\right)\times 15 = 1{,}7\times15\times10^{-5} = 25{,}5\times10^{-5} = 2{,}55\times10^{-4}.
Agora multiplica por \Delta T:
\Delta L = 2{,}55\times10^{-4}\times(-49) = - (2{,}55\times49)\times10^{-4}.
Calcule 2{,}55\times49:
2{,}55\times49 = 2{,}55\times(50-1)=127{,}5-2{,}55=124{,}95.
Portanto
\Delta L = -124{,}95\times10^{-4} = -1{,}2495\times10^{-2}\\ \mathrm{m} = -0{,}012495\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Arredondando de forma prática para a prova e convertendo unidades mais familiares:
\Delta L \approx -0{,}0125\\ \mathrm{m} \quad\text{(aprox.)}
Converter para centímetros:
\Delta L \approx -1{,}25\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: o sinal negativo indica que o fio contraiu (encolheu) ao resfriar. Em termos práticos, encolheu cerca de 1{,}25\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Verificação rápida de ordem de grandeza (confirmação mental): para \Delta T\approx -50^\circ\mathrm{C} e \alpha\sim 2\times10^{-5}, \Delta L/L\sim -1\times10^{-3}, então \Delta L\sim 15\\ \mathrm{m}\times10^{-3}=0{,}015\\ \mathrm{m}, consistente com nosso valor \sim0{,}0125\\ \mathrm{m}. Está tudo coerente — respira, você mandou bem!

Resposta

-0,0125\\ \mathrm{m} (contração de 1,25\\ \mathrm{cm})

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