17.8 Uma haste de metal com 0,4 \mathrm{~m}(15,7 \mathrm{pol}. ) de comprimento se alonga
0,48 \mathrm{~mm}\left(0,019\right. pol.) ao ser aquecida de 20^{\circ} \mathrm{C} a 100^{\circ} \mathrm{C}(68 { }^{\circ} \mathrm{F} a 212^{\circ} \mathrm{F} ). Determine o valor do coeficiente linear de expansão térmica desse material.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa precisa.
  • Comprimento inicial da haste: L_0 = 0,4\\ \mathrm{m}.
  • Alongamento observado ao aquecer: \Delta L = 0,48\\ \mathrm{mm}.
  • Temperatura inicial: T_i = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: T_f = 100^\circ\mathrm{C}.
O que o problema pede: determinar o coeficiente linear de expansão térmica do material, normalmente denotado por \alpha.

Passo 2

Apresento a fórmula básica e explico cada termo com calma.
A relação linear para dilatação térmica é
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T
onde:
  • \Delta L é a variação de comprimento (o quanto a haste alongou),
  • \alpha é o coeficiente linear de expansão térmica (o que queremos),
  • L_0 é o comprimento inicial,
  • \Delta T é a variação de temperatura, isto é \Delta T = T_f - T_i.
Explicação didática: \alpha diz quantas unidades de comprimento crescem por unidade de comprimento original, para cada grau de temperatura. Tem unidade \mathrm{^\circ C^{-1}} (que é igual a \mathrm{K^{-1}}). Para encontrar \alpha isolamos na fórmula:
\alpha = \frac{\Delta L}{L_0\,\Delta T}.

Passo 3

Calculo a variação de temperatura \Delta T. É só subtrair:
\Delta T = T_f - T_i = 100^\circ\mathrm{C} - 20^\circ\mathrm{C} = 80^\circ\mathrm{C}.
Observação útil: graus Celsius e Kelvin têm a mesma escala de variação, então podemos usar \Delta T em ^\circ\mathrm{C} ou em \mathrm{K} sem mudar \alpha.

Passo 4

Converto \Delta L para a mesma unidade de L_0 (metros). O enunciado deu \Delta L = 0,48\\ \mathrm{mm}. Como 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}, temos:
\Delta L = 0,48\\ \mathrm{mm} = 0,48\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 0,00048\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora aplico a fórmula para \alpha:
\alpha = \frac{\Delta L}{L_0\,\Delta T}.
Substituindo os números que já temos:
\alpha = \frac{0,00048\\ \mathrm{m}}{(0,4\\ \mathrm{m})\times(80^\circ\mathrm{C})}.
Faço a multiplicação no denominador:
0,4\times80 = 32.
Portanto
\alpha = \frac{0,00048}{32} = 0,000015.
Escrevendo em notação mais clara:
\alpha = 1,5\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida (ajuda a memorizar): com esse valor de \alpha, um metro da mesma haste aquecido 80^\circ\mathrm{C} alongaria
\Delta L = \alpha\cdot 1\\ \mathrm{m}\cdot 80^\circ\mathrm{C} = 1,5\times10^{-5}\times80 = 1,2\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 1,2\\ \mathrm{mm}.
Ou seja, faz sentido numericamente: uma expansão da ordem de milésimos de metro (milímetros) para essa variação de temperatura é razoável para metais.

Resposta

\alpha = 1,5\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}

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