3.17 For each case below, for the function x (of a real variable) having the properties stated, find x(t) for all t.
The function x is such that:
  • x(t)=t-1 for 0 \leq t \leq 1;
  • the function v is causal, where v(t)=x(t-1); and
  • the function w is odd, where w(t)=x(t)+1.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a definição parcial de x(t): x(t)=t-1 para 0 \leq t \leq 1.
  • Diz que a função v definida por v(t)=x(t-1) é causal.
  • Diz que a função w definida por w(t)=x(t)+1 é ímpar (odd).
  • Pede: determinar x(t) para todo t\in\mathbb{R}.
Informações úteis extraídas do enunciado (listadas, sem resolver ainda):
  • Tem-se um trecho conhecido de x em [0,1].
  • A causalidade de v impõe condições sobre x para certos argumentos (valores de x em intervalos deslocados).
  • A paridade ímpar de w relaciona valores de x em t e em -t.

Passo 2

Entendendo a condição " v é causal" e como usá-la.
  • Definição usada: uma função v é causal significa que v(t)=0 para todo t<0.
  • Aqui v(t)=x(t-1). Então, para todo t<0 vale
v(t)=x(t-1)=0.
  • Agora reparametrizar: se t<0 então s=t-1< -1. Logo a condição acima é equivalente a dizer que
x(s)=0\quad\text{para todo }s<-1.
  • Conclusão deste passo (resultado direto da causalidade):
x(t)=0\quad\text{para todo }t<-1.

Passo 3

Entendendo a condição " w é ímpar" e a relação que isso impõe a x.
  • Definição usada: uma função w é ímpar significa w(-t)=-w(t) para todo t.
  • Aqui w(t)=x(t)+1. Aplicando a definição:
w(-t)=x(-t)+1,\qquad -w(t)=-(x(t)+1)=-x(t)-1.
  • Igualando pela condição ímpar:
x(-t)+1 = -x(t)-1.
  • Isolando x(-t) obtemos a relação de simetria entre x em t e -t:
x(-t) = -x(t) - 2.
  • Esta fórmula é a ferramenta que permite estender valores de x conhecidos para o lado negativo (ou vice-versa).

Passo 4

Usando a relação de paridade para obter x(t) em [-1,0] a partir do trecho conhecido em [0,1].
  • Temos x(t)=t-1 para 0\le t\le1.
  • Para s\in[-1,0] podemos escrever s=-t com t\in[0,1]. Aplicando a relação do passo anterior:
x(s)=x(-t) = -x(t)-2.
  • Substituindo x(t)=t-1:
x(s) = -(t-1)-2 = -t+1-2 = -t-1.
  • Reescrevendo em termos de s (lembre que t=-s):
x(s) = -(-s)-1 = s-1.
  • Portanto, para s\in[-1,0] obtemos
x(s)=s-1.
  • Conclusão: a mesma expressão x(t)=t-1 vale em [-1,0] também.

Passo 5

Resumo intermediário (acumulando o que já sabemos):
  • Do passo 2: x(t)=0 para t<-1.
  • Do passo 4 juntamente com o dado original: x(t)=t-1 para -1\le t\le 1.
Ainda falta determinar x(t) para t>1. Vamos usar novamente a relação da paridade para isso.

Passo 6

Encontrando x(t) para t>1 usando a relação x(-t) = -x(t)-2.
  • Se t>1 então -t < -1. Do passo 2 sabemos que x(s)=0 para s<-1, logo
x(-t)=0\quad\text{quando }t>1.
  • Aplicando a relação x(-t) = -x(t)-2 e substituindo x(-t)=0 obtemos
0 = -x(t)-2 \quad\Rightarrow\quad x(t) = -2.
  • Conclusão: para todo t>1 vale
x(t) = -2.

Passo 7

Verificações rápidas (para ficar seguro e aprender como checar no exame):
  • Verificar causalidade de v: para t<0 temos t-1<-1, então x(t-1)=0 (pelo que achamos para argumentos menores que -1), logo v(t)=0. Ok.
  • Verificar ímpar de w: definir w(t)=x(t)+1. Usando as expressões por partes:
    • Se t<-1, x(t)=0 então w(t)=1. Para -t>1 (ou seja t<-1) tem w(-t)=x(-t)+1 etc.; fazendo a verificação geral retorna w(-t)=-w(t) (pode verificar caso a caso nos três ramos). Em particular, a relação x(-t)=-x(t)-2 garante a ímparidade. Ok.

Resposta

x(t)=0 para t<-1
x(t)=t-1 para -1\le t\le 1
x(t)=-2 para t>1

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