3.17 For each case below, for the function
(of a real variable) having the properties stated, find
for all
.
The function
is such that:
-
for
;
- the function
is causal, where
; and
- the function
is odd, where
.
The function
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a definição parcial de
: para . - Diz que a função
definida por é causal. - Diz que a função
definida por é ímpar (odd). - Pede: determinar
para todo .
Informações úteis extraídas do enunciado (listadas, sem resolver ainda):
- Tem-se um trecho conhecido de
em . - A causalidade de
impõe condições sobre para certos argumentos (valores de em intervalos deslocados). - A paridade ímpar de
relaciona valores de em e em .
Passo 2
Entendendo a condição "
é causal" e como usá-la.
- Definição usada: uma função
é causal significa que para todo . - Aqui
. Então, para todo vale
- Agora reparametrizar: se
então . Logo a condição acima é equivalente a dizer que
- Conclusão deste passo (resultado direto da causalidade):
Passo 3
Entendendo a condição "
é ímpar" e a relação que isso impõe a
.
- Definição usada: uma função
é ímpar significa para todo . - Aqui
. Aplicando a definição:
- Igualando pela condição ímpar:
- Isolando
obtemos a relação de simetria entre em e :
- Esta fórmula é a ferramenta que permite estender valores de
conhecidos para o lado negativo (ou vice-versa).
Passo 4
Usando a relação de paridade para obter
em
a partir do trecho conhecido em
.
- Temos
para . - Para
podemos escrever com . Aplicando a relação do passo anterior:
- Substituindo
:
- Reescrevendo em termos de
(lembre que ):
- Portanto, para
obtemos
- Conclusão: a mesma expressão
vale em também.
Passo 5
Resumo intermediário (acumulando o que já sabemos):
- Do passo 2:
para . - Do passo 4 juntamente com o dado original:
para .
Ainda falta determinar
para
. Vamos usar novamente a relação da paridade para isso.
Passo 6
Encontrando
para
usando a relação
.
- Se
então . Do passo 2 sabemos que para , logo
- Aplicando a relação
e substituindo obtemos
- Conclusão: para todo
vale
Passo 7
Verificações rápidas (para ficar seguro e aprender como checar no exame):
- Verificar causalidade de
: para temos , então (pelo que achamos para argumentos menores que ), logo . Ok. - Verificar ímpar de
: definir . Usando as expressões por partes: - Se
, então . Para (ou seja ) tem etc.; fazendo a verificação geral retorna (pode verificar caso a caso nos três ramos). Em particular, a relação garante a ímparidade. Ok.
- Se