3.17 For each case below, for the function x\) (of a real variable) having the properties stated, find \(x(t)\) for all \(t\). The function \(x\) is such that: \(x(t)= \begin{cases}t-1 & 1 \leq t \leq 2 \\\\ 3-t & 2<t \leq 3 ;\end{cases}
  • the function v is causal, where v(t)=x(t-1); and
  • the function w is odd, where w(t)=x(t+1).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei os intervalos e fórmulas do enunciado).
  • O enunciado fornece x(t)\) apenas nos intervalos \(1\le t\le2\) e \(2<t\le3\): \[x(t)=\begin{cases} t-1 & 1\le t\le2,\\[4pt] 3-t & 2<t\le3. \end{cases}
  • Pergunta 1: encontrar x(t)\] para todo \(t supondo que v é causal, onde v(t)=x(t-1).
  • Pergunta 2: encontrar x(t) para todo t supondo que w é ímpar (odd), onde w(t)=x(t+1).
Neste passo não vou resolver nada, apenas fixei os dados e o que precisa ser obtido.]

Passo 2

Entendendo o que significa " v é causal" e que condição isso impõe sobre x.
  • Definição prática de causalidade (para funções sinais): uma função v(t) é causal se ela for nula para t<0; ou seja, v(t)=0 para todo t<0.
  • Como v(t)=x(t-1), a condição v(t)=0 para t<0 é equivalente a
x(t-1)=0\quad\text{para todo }t<0.
  • Fazendo a mudança de variável u=t-1, a condição vira
x(u)=0\quad\text{para todo }u< -1.
Portanto a exigência mínima imposta por " v causal" é que x(t)=0 para todo t<-1.

Passo 3

Escolha natural para completar x(t) em todo \mathbb{R} no caso de v causal e verificação.
  • O enunciado deu x(t) apenas em 1\le t\le3. Para definir x(t) para todo t de forma simples e compatível com a condição encontrada, uma escolha natural é assumir que x(t)=0 fora do intervalo onde foi definido (isto é, sinal com suporte limitado a [1,3]). Essa escolha é comum em problemas de sinais e é suficiente (embora não única) para garantir a causalidade de v.
  • Assim, no caso em que exigimos v causal, definimos
x(t)=0\quad\text{para }t<1\quad\text{e}\quad x(t)=0\quad\text{para }t>3,
além das fórmulas já dadas em 1\le t\le3. Note que essa escolha implica em particular x(t)=0 para todo t<-1 (pois \{t<-1\}\subset\{t<1\}), logo satisfaz a condição necessária para v causal. Também verifica-se que v(t)=x(t-1)=0 para t<2, e portanto em particular para t<0, isto é, v é causal.

Passo 4

Escrever explicitamente [x(t)) (caso 1: v causal) como função para todo t.
Com a escolha feita (zero fora de [1,3]), juntando todas as peças:
x(t)= \begin{cases} 0 & t<1,\\[4pt] t-1 & 1\le t\le2,\\[4pt] 3-t & 2< t\le3,\\[4pt] 0 & t>3. \end{cases}
(Isto define x(t)\] para todo \(t e garante que v(t)=x(t-1) seja causal.)]

Passo 5

Agora passo para o caso 2: w é ímpar, onde w(t)=x(t+1). Entender a condição de simetria que isso impõe sobre x.
  • Definição de função ímpar (odd): w é ímpar se w(-t)=-w(t) para todo t.
  • Como w(t)=x(t+1), a condição w(-t)=-w(t) é
x(-t+1) = -x(t+1)\quad\text{para todo }t.
  • Reescrevendo, com a substituição s=t+1 (ou rearranjando), obtemos uma condição invariância/reflexão simples para x:
x(2-s) = -x(s)\quad\text{para todo }s\in\mathbb{R}.
Em forma mais direta:
x(2-t) = -x(t)\quad\text{para todo }t.
Isto diz que x é anti-simétrica (imutável por troca com sinal invertido) em torno do ponto t=1 (reflexão em t=1).

Passo 6

Usar a relação x(2-t)=-x(t) para determinar x(t) para t fora de [1,3], usando os valores conhecidos em [1,3].
  • A transformação t\mapsto 2-t envia o intervalo [1,3] no intervalo [-1,1], porque:
    • Se t\in[1,3] então 2-t\in[-1,1].
  • Logo, conhecendo x em [1,3], podemos obter x em [-1,1] por
x(2-t)=-x(t)\quad\Longrightarrow\quad x(u)=-x(2-u)
com u\in[-1,1] (escrevendo u=2-t, onde t\in[1,3]).

Passo 7

Calcular explicitamente x(t) em [-1,1] a partir dos dados em [1,3].
  • Para t\in[1,2], x(t)=t-1. Para esses t definimos u=2-t\in[0,1], e a relação dá
x(u)=-x(2-u)=-x(t)=-(t-1)=1-t.
Reescrevendo em termos de u (onde t=2-u), obtemos para u\in[0,1]
x(u)=u-1.
Portanto para 0\le u\le1 temos x(u)=u-1.
  • Para t\in(2,3], x(t)=3-t. Para esses t definimos u=2-t\in[-1,0), e a relação dá
x(u)=-x(2-u)=-x(t)=-(3-t)=t-3.
Novamente em termos de u (com t=2-u) isso se torna para u\in[-1,0)
x(u)=-1 - u.
(Observação: em u=0 ambas as fórmulas coincidem em -1.)

Passo 8

Completar a definição de x(t) para todo t no caso w ímpar. Escolha natural para fora do intervalo [-1,3].
  • A relação x(2-t)=-x(t) já nos permitiu determinar x(t) em todo o intervalo [-1,3] a partir dos valores dados em [1,3].
  • Para t>3 ou t<-1 a aplicação t\mapsto 2-t leva a um ponto fora [-1,3] também; portanto os valores fora de [-1,3] não são determinados pelos dados fornecidos, mas podemos adotar a escolha natural e comum em problemas de sinais: assumir x(t)=0 fora do intervalo onde fizemos as construções. Essa escolha é compatível com a condição x(2-t)=-x(t) porque se x for zero tanto em t quanto em 2-t a igualdade é satisfeita.
  • Assim, tomamos x(t)=0 para t<-1 e para t>3.

Passo 9

Escrever explicitamente x(t) para todo t no caso w ímpar, juntando todas as peças.
Unificando as fórmulas encontradas em cada subintervalo:
x(t)= \begin{cases} 0 & t< -1,\\[4pt] -1 - t & -1\le t <0,\\[4pt] t - 1 & 0\le t \le 2,\\[4pt] 3 - t & 2 < t \le 3,\\[4pt] 0 & t>3. \end{cases}]

Resposta

Caso (v causal): x(t)= \begin{cases} 0 & t<1,\\[4pt] t-1 & 1\le t\le2,\\[4pt] 3-t & 2< t\le3,\\[4pt] 0 & t>3. \end{cases}
Caso (w ímpar): x(t)= \begin{cases} 0 & t< -1,\\[4pt] -1 - t & -1\le t <0,\\[4pt] t - 1 & 0\le t \le 2,\\[4pt] 3 - t & 2 < t \le 3,\\[4pt] 0 & t>3. \end{cases}]

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