3.17 For each case below, for the function x\) (of a real variable) having the properties stated, find \(x(t)\) for all \(t\).
The function \(x\) is such that:
\(x(t)= \begin{cases}t-1 & 1 \leq t \leq 2 \\\\ 3-t & 2<t \leq 3 ;\end{cases}
the function v is causal, where v(t)=x(t-1); and
the function w is odd, where w(t)=x(t+1).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei os intervalos e fórmulas do enunciado).
O enunciado fornece x(t)\) apenas nos intervalos \(1\le t\le2\) e \(2<t\le3\):
\[x(t)=\begin{cases} t-1 & 1\le t\le2,\\[4pt] 3-t & 2<t\le3. \end{cases}
Pergunta 1: encontrar x(t)\] para todo \(t supondo que v é causal, onde v(t)=x(t-1).
Pergunta 2: encontrar x(t) para todo t supondo que w é ímpar (odd), onde w(t)=x(t+1).
Neste passo não vou resolver nada, apenas fixei os dados e o que precisa ser obtido.]
Passo 2
Entendendo o que significa " v é causal" e que condição isso impõe sobre x.
Definição prática de causalidade (para funções sinais): uma função v(t) é causal se ela for nula para t<0; ou seja, v(t)=0 para todo t<0.
Como v(t)=x(t-1), a condição v(t)=0 para t<0 é equivalente a
x(t-1)=0\quad\text{para todo }t<0.
Fazendo a mudança de variável u=t-1, a condição vira
x(u)=0\quad\text{para todo }u< -1.
Portanto a exigência mínima imposta por " v causal" é que x(t)=0 para todo t<-1.
Passo 3
Escolha natural para completar x(t) em todo \mathbb{R} no caso de v causal e verificação.
O enunciado deu x(t) apenas em 1\le t\le3. Para definir x(t) para todo t de forma simples e compatível com a condição encontrada, uma escolha natural é assumir que x(t)=0 fora do intervalo onde foi definido (isto é, sinal com suporte limitado a [1,3]). Essa escolha é comum em problemas de sinais e é suficiente (embora não única) para garantir a causalidade de v.
Assim, no caso em que exigimos v causal, definimos
além das fórmulas já dadas em 1\le t\le3. Note que essa escolha implica em particular x(t)=0 para todo t<-1 (pois \{t<-1\}\subset\{t<1\}), logo satisfaz a condição necessária para v causal. Também verifica-se que v(t)=x(t-1)=0 para t<2, e portanto em particular para t<0, isto é, v é causal.
Passo 4
Escrever explicitamente [x(t)) (caso 1: v causal) como função para todo t.
Com a escolha feita (zero fora de [1,3]), juntando todas as peças:
com u\in[-1,1] (escrevendo u=2-t, onde t\in[1,3]).
Passo 7
Calcular explicitamente x(t) em [-1,1] a partir dos dados em [1,3].
Para t\in[1,2], x(t)=t-1. Para esses t definimos u=2-t\in[0,1], e a relação dá
x(u)=-x(2-u)=-x(t)=-(t-1)=1-t.
Reescrevendo em termos de u (onde t=2-u), obtemos para u\in[0,1]
x(u)=u-1.
Portanto para 0\le u\le1 temos x(u)=u-1.
Para t\in(2,3], x(t)=3-t. Para esses t definimos u=2-t\in[-1,0), e a relação dá
x(u)=-x(2-u)=-x(t)=-(3-t)=t-3.
Novamente em termos de u (com t=2-u) isso se torna para u\in[-1,0)
x(u)=-1 - u.
(Observação: em u=0 ambas as fórmulas coincidem em -1.)
Passo 8
Completar a definição de x(t) para todo t no caso w ímpar. Escolha natural para fora do intervalo [-1,3].
A relação x(2-t)=-x(t) já nos permitiu determinar x(t) em todo o intervalo [-1,3] a partir dos valores dados em [1,3].
Para t>3 ou t<-1 a aplicação t\mapsto 2-t leva a um ponto fora [-1,3] também; portanto os valores fora de [-1,3] não são determinados pelos dados fornecidos, mas podemos adotar a escolha natural e comum em problemas de sinais: assumir x(t)=0 fora do intervalo onde fizemos as construções. Essa escolha é compatível com a condição x(2-t)=-x(t) porque se x for zero tanto em t quanto em 2-t a igualdade é satisfeita.
Assim, tomamos x(t)=0 para t<-1 e para t>3.
Passo 9
Escrever explicitamente x(t) para todo t no caso w ímpar, juntando todas as peças.
Unificando as fórmulas encontradas em cada subintervalo:
x(t)= \begin{cases} 0 & t< -1,\\[4pt] -1 - t & -1\le t <0,\\[4pt] t - 1 & 0\le t \le 2,\\[4pt] 3 - t & 2 < t \le 3,\\[4pt] 0 & t>3. \end{cases}]
Resposta
Caso (v causal): x(t)= \begin{cases} 0 & t<1,\\[4pt] t-1 & 1\le t\le2,\\[4pt] 3-t & 2< t\le3,\\[4pt] 0 & t>3. \end{cases}
Caso (w ímpar): x(t)= \begin{cases} 0 & t< -1,\\[4pt] -1 - t & -1\le t <0,\\[4pt] t - 1 & 0\le t \le 2,\\[4pt] 3 - t & 2 < t \le 3,\\[4pt] 0 & t>3. \end{cases}]