3.10 Prove each of the following assertions:
The product of two even functions is even.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que o produto de duas funções pares é uma função par.
Informações dadas (assumidas do enunciado):
  • Existem duas funções f e g.
  • Ambas são pares, ou seja, valem a propriedade de paridade para todos os x do domínio em que estão definidas.
  • Devemos mostrar que a função h definida por h(x)=f(x)g(x) também satisfaz a propriedade de paridade para todo x do domínio comum de f e g.

Passo 2

Definição de função par (explicação didática):
Uma função u é chamada de par quando, para todo x do seu domínio, vale
u(-x)=u(x).
Isso significa que a imagem de -x é a mesma que a imagem de x; geometricamente, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Um ponto importante: essa definição só faz sentido se o domínio for simétrico em relação a 0, isto é, se sempre que x está no domínio, -x também está. Ao provar coisas sobre paridade, devemos assumir que o domínio considerado é tal que essas substituições \pm x são permitidas.

Passo 3

Definição do produto de funções (lembrete prático):
Se f e g são funções, o produto f\cdot g é a função h definida por
h(x) = (f\cdot g)(x) = f(x)\,g(x),
sempre que x pertence ao domínio comum de f e g. Para mostrar que h é par, precisamos verificar a igualdade h(-x)=h(x) para todo x no domínio comum.

Passo 4

Prova direta passo a passo (a conta essencial):
Começamos calculando h(-x) usando a definição do produto:
(fg)(-x)=f(-x)\,g(-x).
Agora usamos que f e g são pares. Pela definição de par, para todo x do domínio comum vale f(-x)=f(x) e g(-x)=g(x). Substituindo essas igualdades obtemos
f(-x)\,g(-x)=f(x)\,g(x).
Portanto
(fg)(-x)=f(x)\,g(x)=(fg)(x).

Passo 5

Interpretação e pontos importantes (didática extra):
  • A cadeia de igualdades acima é a prova completa e direta: ao avaliar o produto em -x e usar a paridade de cada fator, recuperamos o valor em x.
  • É crucial que o domínio seja compatível: para poder escrever f(-x) e g(-x) devemos ter -x no domínio de ambas. Normalmente, ao falar de funções pares supõe-se domínio simétrico. Se o domínio não for simétrico, a propriedade não pode ser verificada para todo x.
  • Exemplo concreto para fixar: tome f(x)=x^2 e g(x)=\cos x. Ambas são pares. Então
(fg)(-x)=(-x)^2\cos(-x)=x^2\cos x=(fg)(x),
confirmando o resultado no caso concreto.
  • Observação extra útil para a prova: a mesma ideia mostra que o produto de duas ímpares é par, porque (-f(-x))(-g(-x))=f(x)g(x); e que o produto de uma par com uma ímpar é ímpar.

Passo 6

Conclusão final (síntese):
Pela definição do produto e pela propriedade f(-x)=f(x) e g(-x)=g(x), obtém-se para todo x no domínio comum
(fg)(-x)=(fg)(x),
ou seja, fg é uma função par.

Resposta

(fg)(-x)=(fg)(x) para todo x no domínio comum de f e g.

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