3.10 Prove each of the following assertions:
The product of two even functions is even.
The product of two even functions is even.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que o produto de duas funções pares é uma função par.
Informações dadas (assumidas do enunciado):
Informações dadas (assumidas do enunciado):
- Existem duas funções
e . - Ambas são pares, ou seja, valem a propriedade de paridade para todos os
do domínio em que estão definidas. - Devemos mostrar que a função
definida por também satisfaz a propriedade de paridade para todo do domínio comum de e .
Passo 2
Definição de função par (explicação didática):
Uma função é chamada de par quando, para todo
do seu domínio, vale
Uma função
Isso significa que a imagem de
é a mesma que a imagem de
; geometricamente, o gráfico é simétrico em relação ao eixo
. Um ponto importante: essa definição só faz sentido se o domínio for simétrico em relação a
, isto é, se sempre que
está no domínio,
também está. Ao provar coisas sobre paridade, devemos assumir que o domínio considerado é tal que essas substituições
são permitidas.
Passo 3
Definição do produto de funções (lembrete prático):
Se e
são funções, o produto
é a função
definida por
Se
sempre que
pertence ao domínio comum de
e
. Para mostrar que
é par, precisamos verificar a igualdade
para todo
no domínio comum.
Passo 4
Prova direta passo a passo (a conta essencial):
Começamos calculando usando a definição do produto:
Começamos calculando
Agora usamos que
e
são pares. Pela definição de par, para todo
do domínio comum vale
e
. Substituindo essas igualdades obtemos
Portanto
Passo 5
Interpretação e pontos importantes (didática extra):
- A cadeia de igualdades acima é a prova completa e direta: ao avaliar o produto em
e usar a paridade de cada fator, recuperamos o valor em . - É crucial que o domínio seja compatível: para poder escrever
e devemos ter no domínio de ambas. Normalmente, ao falar de funções pares supõe-se domínio simétrico. Se o domínio não for simétrico, a propriedade não pode ser verificada para todo . - Exemplo concreto para fixar: tome
e . Ambas são pares. Então
confirmando o resultado no caso concreto.
- Observação extra útil para a prova: a mesma ideia mostra que o produto de duas ímpares é par, porque
; e que o produto de uma par com uma ímpar é ímpar.
Passo 6
Conclusão final (síntese):
Pela definição do produto e pela propriedade e
, obtém-se para todo
no domínio comum
Pela definição do produto e pela propriedade
ou seja,
é uma função par.