Para o problema a seguir, determine:
A intensidade e a direção de
de
, de modo que a força resultante seja orientada ao longo do eixo u positivo e tenha intensidade de 250 N .
A intensidade e a direção de
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a intensidade (módulo) de
e a direção (ângulo entre o eixo mostrado e ) de modo que a força resultante seja orientada ao longo do eixo positivo e tenha intensidade .
Informações fornecidas (peguei estes dados na imagem enviada):
-
tem intensidade e está ao longo do eixo (logo em componentes ). -
tem intensidade . Na figura há um triângulo retângulo com lados , , que indica a direção de . Isso significa que, em relação ao eixo , com no primeiro quadrante. - O eixo
forma um ângulo de abaixo do eixo (peguei esse na figura). Portanto a direção desejada da resultante é ao longo do vetor unitário que tem ângulo (ou ) em relação ao . - A resultante
desejada tem magnitude e direção , ou seja
Passo 2
Estratégia geral (sem cálculos ainda): vamos trabalhar com componentes cartesianas
. Escrevemos
Como queremos
, isolamos
:
Portanto calculamos componentes de
, de
e de
, fazemos essa subtração para obter as componentes
e
, então:
- magnitude
, - direção (ângulo em relação ao
) e depois obtemos , o ângulo entre e , como a diferença angular mínima entre e o ângulo de (que é ou ).
Vou explicar cada passo de componente e trigonometria à medida que for calculando.
Passo 3
Calcular o vetor unitário
(direção do eixo
). O eixo
está a
do
, então
Numericamente (uso aproximações usuais de cosseno e seno):
portanto
Multiplicando pela magnitude desejada
, a resultante desejada em componentes é
Passo 4
Componentes de
e
.
Para
, usei o triângulo
indicado na figura; isso dá
Logo as componentes de
são
Calculando:
Passo 5
Agora calculamos
por subtração das componentes:
Substituindo os números:
Primeiro some
. Então
Portanto
Interpretação:
é negativo (para a esquerda) e
é negativo (para baixo) —
aponta para o terceiro quadrante (ou, visto como vetor a partir da origem, para baixo e para a esquerda).
Passo 6
Cálculo do módulo de
(teorema de Pitágoras / norma de um vetor):
Calculando numericamente:
Explicação rápida da fórmula: qualquer vetor
tem módulo
; aqui
e
.
Passo 7
Cálculo da direção de
.
Primeiro o ângulo
de
medido a partir do
(no sentido anti-horário) usando a função
que trata os sinais corretamente:
Aqui os dois componentes são negativos, então o vetor está no terceiro quadrante. Calculamos a razão absoluta:
O ângulo referência
. Como estamos no terceiro quadrante,
(ou, em notação negativa,
, que é equivalente a
.)
Agora queremos
, o ângulo entre a direção do eixo
(que tem ângulo
ou
) e a direção de
. A diferença angular absoluta mínima é
Usando
e
equivalente a
, uma forma simples é subtrair no intervalo
:
Como
, essa é a menor diferença angular. Assim
Interpretação:
forma um ângulo de aproximadamente
em relação ao eixo
(conforme marcado na figura).
Passo 8
Resumo físico e verificação rápida (mental): os outros dois vetores (
para a direita com
e
com
em
e
em
) somam uma grande componente positiva em
e positiva em
; para que a resultante fique ao longo de
(para baixo e um pouco para a direita) e com módulo menor (
),
precisa ter componentes grandes para a esquerda e para baixo — isto é consistente com os números encontrados. Portanto os resultados fazem sentido.