Para o problema a seguir, determine:
A intensidade e a direção de \theta de \mathrm{F}_{2}, de modo que a força resultante seja orientada ao longo do eixo u positivo e tenha intensidade de 250 N .

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a intensidade (módulo) de \mathrm{F}_2 e a direção \theta (ângulo entre o eixo u mostrado e \mathrm{F}_2) de modo que a força resultante seja orientada ao longo do eixo u positivo e tenha intensidade 250\\ \mathrm{N}.
Informações fornecidas (peguei estes dados na imagem enviada):
  • \mathrm{F}_1 tem intensidade 400\\ \mathrm{N} e está ao longo do eixo +x (logo \mathrm{F}_1=(400,0) em componentes x,y).
  • \mathrm{F}_3 tem intensidade 260\\ \mathrm{N}. Na figura há um triângulo retângulo com lados 5, 12, 13 que indica a direção de \mathrm{F}_3. Isso significa que, em relação ao eixo +x, \cos\varphi=\frac{5}{13},\qquad \sin\varphi=\frac{12}{13},com \varphi no primeiro quadrante.
  • O eixo u forma um ângulo de 25^\circ abaixo do eixo +x (peguei esse \,25^\circ na figura). Portanto a direção desejada da resultante é ao longo do vetor unitário \hat{u} que tem ângulo -25^\circ (ou 360^\circ-25^\circ=335^\circ) em relação ao +x.
  • A resultante \mathbf{R} desejada tem magnitude 250\\ \mathrm{N} e direção \hat{u}, ou seja \mathbf{R}=250\,\hat{u}.

Passo 2

Estratégia geral (sem cálculos ainda): vamos trabalhar com componentes cartesianas x,y. Escrevemos
\mathbf{R}=\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2+\mathbf{F}_3.
Como queremos \mathbf{R}=250\,\hat{u}, isolamos \mathbf{F}_2:
\mathbf{F}_2 = 250\,\hat{u} - \mathbf{F}_1 - \mathbf{F}_3.
Portanto calculamos componentes de \hat{u}, de \mathbf{F}_1 e de \mathbf{F}_3, fazemos essa subtração para obter as componentes F_{2x} e F_{2y}, então:
  • magnitude |\mathbf{F}_2| = \sqrt{F_{2x}^2 + F_{2y}^2},
  • direção (ângulo em relação ao +x) \alpha=\operatorname{atan2}(F_{2y},F_{2x}) e depois obtemos \theta, o ângulo entre \hat{u} e \mathbf{F}_2, como a diferença angular mínima entre \alpha e o ângulo de \hat{u} (que é -25^\circ ou 335^\circ).
Vou explicar cada passo de componente e trigonometria à medida que for calculando.

Passo 3

Calcular o vetor unitário \hat{u} (direção do eixo u). O eixo u está a -25^\circ do +x, então
\hat{u}=(\cos(-25^\circ),\\ \sin(-25^\circ))=(\cos25^\circ,\\\ -\sin25^\circ).
Numericamente (uso aproximações usuais de cosseno e seno):
\cos25^\circ\approx 0{,}9063078,\qquad \sin25^\circ\approx 0{,}4226183,
portanto
\hat{u}\approx(0{,}9063078,\\\ -0{,}4226183).
Multiplicando pela magnitude desejada 250\\ \mathrm{N}, a resultante desejada em componentes é
\mathbf{R}=250\,\hat{u}\approx(250\cdot0{,}9063078,\\\ 250\cdot(-0{,}4226183))
\mathbf{R}\approx(226{,}5769,\\\ -105{,}6546)\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Componentes de \mathbf{F}_1 e \mathbf{F}_3.
\mathbf{F}_1 está ao longo do +x, então
\mathbf{F}_1=(400,0)\\ \mathrm{N}.
Para \mathbf{F}_3, usei o triângulo 5\!:\!12\!:\!13 indicado na figura; isso dá
\cos\varphi=\frac{5}{13},\qquad \sin\varphi=\frac{12}{13}.
Logo as componentes de \mathbf{F}_3 são
\mathbf{F}_3 = 260\bigg(\frac{5}{13},\frac{12}{13}\bigg) = \big(260\cdot\tfrac{5}{13},\\\ 260\cdot\tfrac{12}{13}\big).
Calculando:
\mathbf{F}_3=(100,\\\ 240)\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Agora calculamos \mathbf{F}_2 por subtração das componentes:
\mathbf{F}_2=\mathbf{R}-\mathbf{F}_1-\mathbf{F}_3.
Substituindo os números:
\mathbf{F}_2=(226{,}5769,\,-105{,}6546)-(400,0)-(100,240).
Primeiro some \mathbf{F}_1+\mathbf{F}_3=(400+100,\\\ 0+240)=(500,240). Então
\mathbf{F}_2=(226{,}5769-500,\\\ -105{,}6546-240).
Portanto
\mathbf{F}_2\approx(-273{,}4231,\\\ -345{,}6546)\\ \mathrm{N}.
Interpretação: F_{2x} é negativo (para a esquerda) e F_{2y} é negativo (para baixo) — \mathrm{F}_2 aponta para o terceiro quadrante (ou, visto como vetor a partir da origem, para baixo e para a esquerda).

Passo 6

Cálculo do módulo de \mathbf{F}_2 (teorema de Pitágoras / norma de um vetor):
|\mathbf{F}_2|=\sqrt{F_{2x}^2+F_{2y}^2} =\sqrt{(-273{,}4231)^2+(-345{,}6546)^2}.
Calculando numericamente:
|\mathbf{F}_2|\approx\sqrt{74760{,}17+119477{,}08}\approx\sqrt{194237{,}25}\approx 440{,}7\\ \mathrm{N}.
Explicação rápida da fórmula: qualquer vetor (a,b) tem módulo \sqrt{a^2+b^2}; aqui a=F_{2x} e b=F_{2y}.

Passo 7

Cálculo da direção de \mathbf{F}_2.
Primeiro o ângulo \alpha de \mathbf{F}_2 medido a partir do +x (no sentido anti-horário) usando a função \operatorname{atan2}(y,x) que trata os sinais corretamente:
\alpha=\operatorname{atan2}(F_{2y},F_{2x}).
Aqui os dois componentes são negativos, então o vetor está no terceiro quadrante. Calculamos a razão absoluta:
\frac{|F_{2y}|}{|F_{2x}|}=\frac{345{,}6546}{273{,}4231}\approx 1{,}2649.
O ângulo referência \beta=\arctan(1{,}2649)\approx 51{,}83^\circ. Como estamos no terceiro quadrante,
\alpha\approx 180^\circ+51{,}83^\circ =231{,}83^\circ.
(ou, em notação negativa, \alpha\approx -128{,}17^\circ, que é equivalente a 231{,}83^\circ.)
Agora queremos \theta, o ângulo entre a direção do eixo u (que tem ângulo -25^\circ ou 335^\circ) e a direção de \mathbf{F}_2. A diferença angular absoluta mínima é
\theta = \min\big(|\alpha-(-25^\circ)|,\\\ 360^\circ-|\alpha-(-25^\circ)|\big).
Usando \alpha=231{,}83^\circ e -25^\circ equivalente a 335^\circ, uma forma simples é subtrair no intervalo 0\!-\!360^\circ:
|\alpha - 335^\circ| = |231{,}83^\circ - 335^\circ| = 103{,}17^\circ.
Como 103{,}17^\circ<180^\circ, essa é a menor diferença angular. Assim
\theta\approx 103{,}2^\circ.
Interpretação: \mathrm{F}_2 forma um ângulo de aproximadamente 103{,}2^\circ em relação ao eixo u (conforme marcado na figura).

Passo 8

Resumo físico e verificação rápida (mental): os outros dois vetores ( \mathrm{F}_1 para a direita com 400\\ \mathrm{N} e \mathrm{F}_3 com 100 em x e 240 em y) somam uma grande componente positiva em x e positiva em y; para que a resultante fique ao longo de u (para baixo e um pouco para a direita) e com módulo menor ( 250\\ \mathrm{N}), \mathrm{F}_2 precisa ter componentes grandes para a esquerda e para baixo — isto é consistente com os números encontrados. Portanto os resultados fazem sentido.

Resposta

|\mathbf{F}_2| \approx 440{,}7\\ \mathrm{N}
\theta \approx 103{,}2^\circ

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