17.2 O módulo de elasticidade volumétrica
(a) é independente da temperatura
(b) aumenta com a pressão
(c) tem dimensões de
(d) é maior quando o fluido é mais compressível
(e) é independente da pressão e da viscosidade
(a) é independente da temperatura
(b) aumenta com a pressão
(c) tem dimensões de
(d) é maior quando o fluido é mais compressível
(e) é independente da pressão e da viscosidade
Passo 1
O enunciado pergunta qual(es) das afirmativas sobre o “módulo de elasticidade volumétrica” estão corretas. As alternativas são:
(a) é independente da temperatura
(b) aumenta com a pressão
(c) tem dimensões de
(d) é maior quando o fluido é mais compressível
(e) é independente da pressão e da viscosidade
(a) é independente da temperatura
(b) aumenta com a pressão
(c) tem dimensões de
(d) é maior quando o fluido é mais compressível
(e) é independente da pressão e da viscosidade
Vou trabalhar cada afirmação usando definições e relações fundamentais, uma por uma.
Passo 2
Definição e fórmula básica. O módulo de elasticidade volumétrica (também chamado de bulk modulus) mede a resistência de um fluido (ou material) à compressão volumétrica. Uma definição diferencial é
onde
é o módulo de elasticidade volumétrica,
é a pressão e
é o volume. Explicando cada termo:
-
é o volume do elemento de fluido. -
é a variação da pressão em função da variação do volume (derivada).
O sinal negativo aparece porque um aumento de pressão normalmente reduz o volume (quando ), tornando positivo.
Outra forma útil, usando densidade
(já que
), é
Passo 3
Unidades e dimensões. A partir de
vejamos as dimensões:
-
tem dimensão de pressão (unidade SI: pascal, ). - A derivada
tem dimensão de , mas multiplicada por (unidade ) volta a dar apenas .
Portantotem as mesmas unidades que pressão. Em notação dimensional,
Conclusão: a alternativa (c) é falsa, porque diz que tem dimensões de
(inversa de pressão), quando na verdade tem dimensão de pressão.
Passo 4
Relação com compressibilidade. Define-se a compressibilidade isotérmica ou isentrópica
como
Isto é, quanto mais compressível um fluido, maior é
e, consequentemente, menor é
. Assim, se um fluido é “mais compressível”, o seu módulo de elasticidade volumétrica é menor, não maior. Conclusão: a alternativa (d) é falsa.
Passo 5
Dependência com a pressão e com a temperatura. Em geral:
- Para muitos líquidos,
aumenta com a pressão: comprimir um líquido torna-o menos compressível, logo o módulo cresce com . - Para gases ideais, o comportamento depende do processo. Exemplos simples:
- Processo isoterma:
const . - Processo adiabático reversível:
const , com constante.
Em ambos os casos para gases ideaisé proporcional a , então aumenta com . Portanto afirmar que o módulo é independente da pressão é falso. Sobre temperatura: também depende de temperatura (por exemplo, densidade e propriedades térmicas mudam com e alteram ); assim a alternativa (a) — que diz que é independente da temperatura — é, em geral, falsa. Conclusão: (b) está de acordo com o comportamento típico (aumenta com pressão); (a) e a parte da (e) que afirma independência da pressão são falsas.
- Processo isoterma:
Passo 6
Dependência da viscosidade. Viscosidade é uma propriedade relacionada ao escoamento e ao atrito interno em deformações de cisalhamento e à dissipação de energia em movimentos relativos. O módulo volumétrico
é uma propriedade elástica (relacionada à resposta volumétrica a variações de pressão em equilíbrio ou em processos de compressão rápida) e, em geral, não é função direta da viscosidade. Logo é razoável dizer que
é independente da viscosidade. Porém a alternativa (e) afirmava independência tanto da pressão quanto da viscosidade — como já vimos, a independência da pressão é falsa. Portanto (e) é falsa.
Passo 7
Resumo rápido e conclusão lógica:
- (a) falsa:
geralmente depende de temperatura. - (b) verdadeira: normalmente
aumenta com a pressão (ex.: para gases ideais; líquidos também mostram aumento de com ). - (c) falsa:
tem dimensão de pressão ( ), não de . - (d) falsa: maior compressibilidade significa menor
. - (e) falsa:
pode depender da pressão (logo não é independente dela); é independente, em geral, da viscosidade, mas a alternativa exigia ambas as independências.
Resposta
(b)