17.2 O módulo de elasticidade volumétrica
(a) é independente da temperatura
(b) aumenta com a pressão
(c) tem dimensões de 1 / p
(d) é maior quando o fluido é mais compressível
(e) é independente da pressão e da viscosidade

Passo 1

O enunciado pergunta qual(es) das afirmativas sobre o “módulo de elasticidade volumétrica” estão corretas. As alternativas são:
(a) é independente da temperatura
(b) aumenta com a pressão
(c) tem dimensões de 1/p
(d) é maior quando o fluido é mais compressível
(e) é independente da pressão e da viscosidade
Vou trabalhar cada afirmação usando definições e relações fundamentais, uma por uma.

Passo 2

Definição e fórmula básica. O módulo de elasticidade volumétrica (também chamado de bulk modulus) mede a resistência de um fluido (ou material) à compressão volumétrica. Uma definição diferencial é
K = -V\,\frac{dP}{dV},
onde K é o módulo de elasticidade volumétrica, P é a pressão e V é o volume. Explicando cada termo:
  • V é o volume do elemento de fluido.
  • dP/dV é a variação da pressão em função da variação do volume (derivada).
    O sinal negativo aparece porque um aumento de pressão normalmente reduz o volume ( dV<0 quando dP>0), tornando K positivo.
Outra forma útil, usando densidade \rho (já que \rho\propto 1/V), é
K = \rho\,\frac{dP}{d\rho}.

Passo 3

Unidades e dimensões. A partir de \;K = -V\,\dfrac{dP}{dV}\; vejamos as dimensões:
  • P tem dimensão de pressão (unidade SI: pascal, \text{Pa} = \text{N}/\text{m}^2).
  • A derivada dP/dV tem dimensão de \text{Pa}/\text{m}^3, mas multiplicada por V (unidade \text{m}^3) volta a dar apenas \text{Pa}.
    Portanto K tem as mesmas unidades que pressão. Em notação dimensional,
[K] = [P] = \text{Pa}.
Conclusão: a alternativa (c) é falsa, porque diz que tem dimensões de 1/p (inversa de pressão), quando na verdade tem dimensão de pressão.

Passo 4

Relação com compressibilidade. Define-se a compressibilidade isotérmica ou isentrópica \beta como
\beta = \frac{1}{K}.
Isto é, quanto mais compressível um fluido, maior é \beta e, consequentemente, menor é K. Assim, se um fluido é “mais compressível”, o seu módulo de elasticidade volumétrica é menor, não maior. Conclusão: a alternativa (d) é falsa.

Passo 5

Dependência com a pressão e com a temperatura. Em geral:
  • Para muitos líquidos, K aumenta com a pressão: comprimir um líquido torna-o menos compressível, logo o módulo cresce com P.
  • Para gases ideais, o comportamento depende do processo. Exemplos simples:
    • Processo isoterma: P V= const \Rightarrow K = P.
    • Processo adiabático reversível: P V^{\gamma}= const \Rightarrow K=\gamma P, com \gamma constante.
      Em ambos os casos para gases ideais K é proporcional a P, então aumenta com P. Portanto afirmar que o módulo é independente da pressão é falso. Sobre temperatura: K também depende de temperatura (por exemplo, densidade e propriedades térmicas mudam com T e alteram dP/dV); assim a alternativa (a) — que diz que é independente da temperatura — é, em geral, falsa. Conclusão: (b) está de acordo com o comportamento típico (aumenta com pressão); (a) e a parte da (e) que afirma independência da pressão são falsas.

Passo 6

Dependência da viscosidade. Viscosidade é uma propriedade relacionada ao escoamento e ao atrito interno em deformações de cisalhamento e à dissipação de energia em movimentos relativos. O módulo volumétrico K é uma propriedade elástica (relacionada à resposta volumétrica a variações de pressão em equilíbrio ou em processos de compressão rápida) e, em geral, não é função direta da viscosidade. Logo é razoável dizer que K é independente da viscosidade. Porém a alternativa (e) afirmava independência tanto da pressão quanto da viscosidade — como já vimos, a independência da pressão é falsa. Portanto (e) é falsa.

Passo 7

Resumo rápido e conclusão lógica:
  • (a) falsa: K geralmente depende de temperatura.
  • (b) verdadeira: normalmente K aumenta com a pressão (ex.: K\propto P para gases ideais; líquidos também mostram aumento de K com P).
  • (c) falsa: K tem dimensão de pressão ( \text{Pa}), não de 1/p.
  • (d) falsa: maior compressibilidade significa menor K.
  • (e) falsa: K pode depender da pressão (logo não é independente dela); é independente, em geral, da viscosidade, mas a alternativa exigia ambas as independências.

Resposta

(b)

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