P. 17 (Olimpíada Brasileira de Física) Ao se construir uma escala termométrica arbitrária X, verificou-se que a temperatura de -40^{\circ} \mathrm{X} coincide com o mesmo valor na antiga escala de temperatura Réaumur, que adota respectivamente 0{ }^{\circ} \mathrm{R} e 80^{\circ} \mathrm{R} para os pontos fixos fundamentais (ponto do gelo e ponto do vapor). Verificou-se ainda que a temperatura de -75^{\circ} \mathrm{X} coincide com o mesmo valor na escala Celsius. Determine na escala X as leituras correspondentes a 0^{\circ} \mathrm{C} e a 80^{\circ} \mathrm{R}.

Passo 1

Vou repetir o que o enunciado dá, em linguagem bem clara, para a gente não se perder:
  • Foi construída uma escala termométrica arbitrária chamada X.
  • A leitura -40^\circ\mathrm{X} corresponde numericamente ao mesmo valor na escala Réaumur, ou seja, -40^\circ\mathrm{X} é a mesma temperatura que -40^\circ\mathrm{R}.
  • A leitura -75^\circ\mathrm{X} corresponde numericamente ao mesmo valor na escala Celsius, ou seja, -75^\circ\mathrm{X} é a mesma temperatura que -75^\circ\mathrm{C}.
  • A escala Réaumur tem os pontos fixos: 0^\circ\mathrm{R} (ponto do gelo) e 80^\circ\mathrm{R} (ponto do vapor). Lembrando que, nessas escalas tradicionais, 80^\circ\mathrm{R} corresponde a 100^\circ\mathrm{C}.
O que o exercício pede: determinar, na escala X, as leituras que correspondem a 0^\circ\mathrm{C} e a 80^\circ\mathrm{R}.

Passo 2

Conceito importante (explicadinho): escalas termométricas lineares.
Quando duas escalas de temperatura são lineares entre si (como Celsius, Réaumur e a escala X que estamos criando), existe uma relação afim (linear com deslocamento) entre elas. Isso significa que a leitura na escala X, que chamo de \,x, e a leitura na escala Celsius, que chamo de \,C, satisfazem uma relação do tipo
x = a\,C + b,
onde a e b são constantes fixas da escala X.
  • a diz quanto a escala X “estica” ou “enche” por unidade de Celsius (inclinação).
  • b é um deslocamento (quanto a escala X está deslocada quando C=0).
    Nosso objetivo é achar a e b usando as informações dadas, e então usar essa fórmula para obter as leituras pedidas.

Passo 3

Primeira conversão necessária: Réaumur para Celsius.
A relação entre Réaumur R e Celsius C é linear e obtém-se pelos pontos fixos: 0^\circ\mathrm{R}=0^\circ\mathrm{C} e 80^\circ\mathrm{R}=100^\circ\mathrm{C}. Assim, cada grau Réaumur equivale a \dfrac{100}{80}=\dfrac{5}{4} graus Celsius. Então:
C = \frac{5}{4}\,R.
Usando isso, a leitura -40^\circ\mathrm{R} (que o enunciado diz coincidir com -40^\circ\mathrm{X}) corresponde, em Celsius, a
C = \frac{5}{4}\cdot(-40) = -50.
Portanto a temperatura que vale -40^\circ\mathrm{R} é -50^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Agora traduzimos as duas coincidências dadas para equações na forma x = aC + b.
  • A coincidência -40^\circ\mathrm{X} = -40^\circ\mathrm{R} virou, em Celsius, C=-50 quando x=-40. Substituindo,
-40 = a\cdot(-50) + b.
  • A coincidência -75^\circ\mathrm{X} = -75^\circ\mathrm{C} significa que, para C=-75, temos x=-75. Substituindo,
-75 = a\cdot(-75) + b.
Assim obtemos o sistema de duas equações lineares em a e b:
\begin{cases} -40 = -50a + b,\\[4pt] -75 = -75a + b. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema para a e b. Subtraio a primeira equação da segunda para eliminar b:
(-75)-(-40) = (-75a+b)-(-50a+b).
No lado esquerdo -75 - (-40) = -75 + 40 = -35. No direito os b cancelam e fica -75a + 50a = -25a. Logo
-35 = -25a.
Divide-se ambos os lados por -25:
a = \frac{-35}{-25} = \frac{35}{25} = \frac{7}{5}.
Agora encontro b substituindo a em uma das equações, por exemplo em -75 = -75a + b:
-75 = -75\cdot\frac{7}{5} + b.
Calculo -75\cdot\frac{7}{5} = -75\cdot1{,}4 = -105. Então
-75 = -105 + b \quad\Rightarrow\quad b = -75 + 105 = 30.
Portanto a relação entre X e Celsius é
x = \frac{7}{5}\,C + 30.

Passo 6

Agora respondo a primeira parte pedida: leitura em X correspondente a 0^\circ\mathrm{C}. Basta pôr C=0 na fórmula:
x = \frac{7}{5}\cdot 0 + 30 = 30.
Logo 0^\circ\mathrm{C} equivale a 30^\circ\mathrm{X}.

Passo 7

Segunda parte: leitura em X correspondente a 80^\circ\mathrm{R}. Primeiro converto 80^\circ\mathrm{R} para Celsius. Como já usamos antes, 80^\circ\mathrm{R}=100^\circ\mathrm{C}. Agora uso a fórmula com C=100:
x = \frac{7}{5}\cdot 100 + 30 = 7\cdot 20 + 30 = 140 + 30 = 170.
Logo 80^\circ\mathrm{R} equivale a 170^\circ\mathrm{X}.

Resposta

30^\circ\mathrm{X}
170^\circ\mathrm{X}

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