P. 17 (Olimpíada Brasileira de Física) Ao se construir uma escala termométrica arbitrária X, verificou-se que a temperatura de
coincide com o mesmo valor na antiga escala de temperatura Réaumur, que adota respectivamente
e
para os pontos fixos fundamentais (ponto do gelo e ponto do vapor). Verificou-se ainda que a temperatura de
coincide com o mesmo valor na escala Celsius. Determine na escala X as leituras correspondentes a
e a
.
Passo 1
Vou repetir o que o enunciado dá, em linguagem bem clara, para a gente não se perder:
- Foi construída uma escala termométrica arbitrária chamada X.
- A leitura
corresponde numericamente ao mesmo valor na escala Réaumur, ou seja, é a mesma temperatura que . - A leitura
corresponde numericamente ao mesmo valor na escala Celsius, ou seja, é a mesma temperatura que . - A escala Réaumur tem os pontos fixos:
(ponto do gelo) e (ponto do vapor). Lembrando que, nessas escalas tradicionais, corresponde a .
O que o exercício pede: determinar, na escala X, as leituras que correspondem a
e a
.
Passo 2
Conceito importante (explicadinho): escalas termométricas lineares.
Quando duas escalas de temperatura são lineares entre si (como Celsius, Réaumur e a escala X que estamos criando), existe uma relação afim (linear com deslocamento) entre elas. Isso significa que a leitura na escala X, que chamo de , e a leitura na escala Celsius, que chamo de
, satisfazem uma relação do tipo
Quando duas escalas de temperatura são lineares entre si (como Celsius, Réaumur e a escala X que estamos criando), existe uma relação afim (linear com deslocamento) entre elas. Isso significa que a leitura na escala X, que chamo de
onde
e
são constantes fixas da escala X.
-
diz quanto a escala X “estica” ou “enche” por unidade de Celsius (inclinação). -
é um deslocamento (quanto a escala X está deslocada quando ).
Nosso objetivo é achare usando as informações dadas, e então usar essa fórmula para obter as leituras pedidas.
Passo 3
Primeira conversão necessária: Réaumur para Celsius.
A relação entre Réaumur e Celsius
é linear e obtém-se pelos pontos fixos:
e
. Assim, cada grau Réaumur equivale a
graus Celsius. Então:
A relação entre Réaumur
Usando isso, a leitura
(que o enunciado diz coincidir com
) corresponde, em Celsius, a
Portanto a temperatura que vale
é
.
Passo 4
Agora traduzimos as duas coincidências dadas para equações na forma
.
- A coincidência
virou, em Celsius, quando . Substituindo,
- A coincidência
significa que, para , temos . Substituindo,
Assim obtemos o sistema de duas equações lineares em
e
:
Passo 5
Resolvendo o sistema para
e
. Subtraio a primeira equação da segunda para eliminar
:
No lado esquerdo
. No direito os
cancelam e fica
. Logo
Divide-se ambos os lados por
:
Agora encontro
substituindo
em uma das equações, por exemplo em
:
Calculo
. Então
Portanto a relação entre X e Celsius é
Passo 6
Agora respondo a primeira parte pedida: leitura em X correspondente a
. Basta pôr
na fórmula:
Logo
equivale a
.
Passo 7
Segunda parte: leitura em X correspondente a
. Primeiro converto
para Celsius. Como já usamos antes,
. Agora uso a fórmula com
:
Logo
equivale a
.