Se o calor necessário para aumentar a temperatura de massa m de água de 68^{\circ} \mathrm{F} para 78^{\circ} \mathrm{F} for de algum modo transformado em energia cinética translacional dessa água, qual será a sua velocidade?

Passo 1

O enunciado dá que uma quantidade de calor, igual à necessária para aumentar a temperatura de uma massa m de água de 68^\circ\mathrm{F} para 78^\circ\mathrm{F}, é transformada inteiramente em energia cinética translacional dessa mesma água. A pergunta é: qual será a velocidade dessa água?
Informações relevantes do enunciado:
\text{temperatura inicial }=68^\circ\mathrm{F},\qquad \text{temperatura final }=78^\circ\mathrm{F}
\text{massa da água }=m\\ (\text{não dada numericamente})áã
A transformação completa do calor em energia cinética é assumida (isto é, toda a energia térmica vai para \tfrac{1}{2}mv^{2}).

Passo 2

Vamos usar conservação de energia: o calor absorvido pela água ao subir de temperatura vira energia cinética translacional. Escrevemos o calor absorvido como
Q = m\,c\,\Delta T,
onde m é a massa, c é o calor específico da água (energia por unidade de massa por grau) e \Delta T é a variação de temperatura em graus Celsius (ou Kelvin). A energia cinética translacional é
E_{\text{cin}}=\tfrac{1}{2}m v^{2}.
Igualando Q a E_{\text{cin}} e resolvendo para v obtemos a velocidade. Antes, precisamos converter a variação de temperatura em ^\circ\mathrm{F} para ^\circ\mathrm{C} porque o calor específico é dado em unidades por grau Celsius/Kelvin.
Explicação da conversão de temperatura (didática): uma diferença de temperatura de 1^\circ\mathrm{F} corresponde a \tfrac{5}{9}^\circ\mathrm{C}. Logo, diferenças se convertem por
\Delta T(^{\circ}\mathrm{C})=\frac{5}{9}\,\Delta T(^{\circ}\mathrm{F}).

Passo 3

Calculo da variação de temperatura em Fahrenheit e sua conversão:
\Delta T = 78^\circ\mathrm{F}-68^\circ\mathrm{F}=10^\circ\mathrm{F}.
Convertendo para Celsius/Kelvin:
\Delta T=\frac{5}{9}\cdot 10=\frac{50}{9}\\ ^\circ\mathrm{C}\approx 5{,}555\\ \mathrm{K}.
Observação: diferenças em Celsius e Kelvin são numericamente iguais, por isso tanto faz escrever ^\circ\mathrm{C} ou \mathrm{K} aqui.

Passo 4

Apresentando o calor específico da água e o que significa (didática): o calor específico c é a energia necessária para elevar 1 kg de água em 1 K (ou 1^\circ\mathrm{C}). Usaremos o valor padrão
c=4184\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Isto significa que para cada quilograma de água, um aumento de 1^\circ\mathrm{C} exige 4184 joules de energia.

Passo 5

Cálculo do calor absorvido Q. Usando Q=m c \Delta T:
Q = m\cdot 4184\cdot \frac{50}{9}\\ \mathrm{J}.
Podemos simplificar numericamente:
Q = m\cdot \frac{4184\cdot 50}{9}=m\cdot \frac{209200}{9}\\ \mathrm{J}\approx m\cdot 23244{,}444\\ \mathrm{J}.
Isso é a energia térmica disponível por massa m.

Passo 6

Igualando o calor disponível à energia cinética e resolvendo para v. Escrevemos
\tfrac{1}{2}m v^{2}=m c \Delta T.
Cancelamos m (a velocidade não depende da massa, pois ela aparece em ambos os lados) e isolamos v:
v=\sqrt{2 c \Delta T}.
Explicação didática: como a energia térmica cresce proporcionalmente com m e a energia cinética também tem m, a massa cancela — a velocidade que resulta da conversão total de calor em velocidade independe de quanta água haja.

Passo 7

Substituindo os valores numéricos:
v=\sqrt{2\cdot 4184\cdot \frac{50}{9}}.
Fazendo as contas passo a passo:
4184\cdot 50=209200,
2\cdot 209200=418400,
\frac{418400}{9}\approx 46488{,}888\ldots
Portanto
v\approx \sqrt{46488{,}888\ldots}\approx 215{,}6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Interpretação e observações finais (didática e empática): o resultado é aproximadamente 215{,}6\\ \mathrm{m/s}. Isso é um valor grande — equivale a uma velocidade bem alta para água líquida — e na prática é praticamente impossível converter todo o calor dessa forma (muito do calor fica em agitação interna, evaporação, calor perdido, etc.). Mas como exercício idealizado, a velocidade obtida é essa. Força aí — você conseguiu chegar ao resultado!

Resposta

v\approx 215{,}6\\ \mathrm{m/s}

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