O circuito ao lado contém uma fonte AC que fornece uma tensão senoidal conforme varepsilon=\varepsilon_{m} \operatorname{sen}(\omega t). No estado de equilíbrio temos as correntes mostradas no circuito. Sem recorrer a uma matemática complicada, responda:
Quais os valores de I_{R}, I_{C} e I_{L} quando \omega \rightarrow \infty ?

Passo 1

O enunciado diz: há uma fonte AC com tensão senoidal \varepsilon=\varepsilon_{m}\operatorname{sen}(\omega t). No estado de regime (equilíbrio) aparecem correntes I_{R}, I_{C} e I_{L} no circuito e a pergunta é: quais são os valores de I_{R}, I_{C} e I_{L} quando \omega\to\infty?\n
Informações dadas explicitamente: a forma da fonte \varepsilon=\varepsilon_{m}\operatorname{sen}(\omega t) e que estamos em regime permanente (correntes senoidais).\n
Observação importante (assunção explícita): vou assumir a configuração mais habitual desses exercícios, em que o resistor R, o capacitor C e o indutor L estão ligados em paralelo aos terminais da fonte, de modo que a mesma tensão v(t) aparece em cada ramo. Se a figura for outra (por exemplo, elementos em série), a resposta muda; mas a interpretação paralela é a típica quando se pedem as correntes individuais em função de \omega.

Passo 2

Conceito chave (explicação simples e intuitiva): quando trabalhamos com sinais senoidais em regime permanente é muito útil usar a ideia de impedância, que é a “resistência” complexa que cada componente apresenta à corrente dependendo da frequência.\n
Definições básicas (sem jargão técnico difícil):\n
\bullet O resistor tem impedância \displaystyle Z_{R}=R. Isso significa que a corrente no resistor é simplesmente a tensão dividida por R, e não depende da frequência.\n
\bullet O capacitor tem impedância \displaystyle Z_{C}=\frac{1}{j\omega C}. Aqui \omega é a frequência angular e j é a unidade imaginária (aparece porque estamos tratando fases). O ponto importante é que \displaystyle |Z_{C}|=\frac{1}{\omega C}: a impedância do capacitor diminui quando \omega aumenta.\n
\bullet O indutor tem impedância \displaystyle Z_{L}=j\omega L. O módulo é \displaystyle |Z_{L}|=\omega L: a impedância do indutor cresce quando \omega aumenta.\n
Intuição física rápida: um capacitor “deixa passar” melhor sinais de alta frequência (torna-se praticamente um curto em \omega grande) e “bloqueia” DC; um indutor “resiste” mais a variações rápidas (torna-se praticamente um circuito aberto em \omega grande) e deixa passar melhor baixas frequências/DC.

Passo 3

Consequência da configuração em paralelo: a tensão em cada ramo é a mesma e é v(t)=\varepsilon_{m}\operatorname{sen}(\omega t). Vamos escrever as correntes de cada elemento no domínio do tempo (fácil de entender) e ver como elas dependem de \omega.\n
Resistor: a lei de Ohm no domínio do tempo dá
i_{R}(t)=\frac{v(t)}{R}=\frac{\varepsilon_{m}}{R}\operatorname{sen}(\omega t).
Repare que essa expressão não contém \omega fora do argumento do seno; o fator de amplitude \dfrac{\varepsilon_{m}}{R} é independente de \omega. Portanto, ao aumentar \omega até infinito, a amplitude de i_{R} permanece a mesma.

Passo 4

Capacitor: a relação temporal entre tensão e corrente do capacitor é
i_{C}(t)=C\frac{dv(t)}{dt}.
Substituindo v(t)=\varepsilon_{m}\operatorname{sen}(\omega t) obtemos (fazendo a derivada)
i_{C}(t)=C\cdot \varepsilon_{m}\cdot \omega \cos(\omega t).
A amplitude dessa corrente é \varepsilon_{m}\omega C. Aqui está o ponto crucial: essa amplitude cresce proporcionalmente a \omega. Logo, quando \omega\to\infty a amplitude de i_{C} tende a infinito (no modelo ideal). Em linguagem de impedâncias, I_{C}=j\omega C\;V e |I_{C}|=\omega C |V|, o mesmo resultado.

Passo 5

Indutor: a relação temporal entre tensão e corrente do indutor é
v(t)=L\frac{di_{L}(t)}{dt}.
Para uma tensão v(t)=\varepsilon_{m}\operatorname{sen}(\omega t) a corrente que satisfaz essa relação tem amplitude \dfrac{\varepsilon_{m}}{\omega L} (fase defasada), porque em regime senoidal a fórmula equivalente é I_{L}=\dfrac{V}{j\omega L} e o módulo é \dfrac{|V|}{\omega L}. Portanto a amplitude de i_{L} decresce como 1/\omega e, quando \omega\to\infty, essa amplitude tende a zero. Intuitivamente, o indutor passa mal sinais de alta frequência e comporta-se como circuito aberto em \omega grande.

Passo 6

Comentário físico importante (sem matemática complicada): o modelo ideal prediz corrente do capacitor crescendo sem limite quando \omega\to\infty. Na prática isso não acontece porque a fonte, resistências parasitas e limitações físicas impedem correntes infinitas — mas no modelo de circuito ideal essa é a consequência direta das fórmulas acima. Não deixe isso te assustar; em provas você normalmente responde com o comportamento limite do modelo ideal.

Resposta

I_{R}(t)=\dfrac{\varepsilon_{m}}{R}\operatorname{sen}(\omega t) (amplitude finita e independente de \omega; portanto permanece igual quando \omega\to\infty).\n
|I_{C}(t)|\\ \text{tem amplitude}\\ \varepsilon_{m}\omega C\to\infty quando \omega\to\infty (no modelo ideal o corrente do capacitor cresce sem limite).\n
|I_{L}(t)|\\ \text{tem amplitude}\\ \dfrac{\varepsilon_{m}}{\omega L}\to 0 quando \omega\to\infty (a corrente no indutor tende a zero).

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