Deseja-se calcular o potencial a uma distância r, de uma esfera de raio R e densidade superficial \sigma uniforme, utilizando-se a relação V_{f}-V_{i}=-\int_{i}^{f} \vec{E} \cdot d \vec{r}. Para tanto, primeiro deve-se calcular o vetor campo elétrico a uma distância r (dentro e fora da esfera). (a) Escreva a equação “lei de Gauss” (3 ptos). (b) Qual a direção do vetor campo elétrico? (2 ptos). (c) Sabendo a direção do vetor campo elétrico é possível utilizar uma superfície gaussiana para calcular a integral de superfície facilmente. Qual é esta superfície (2 ptos). (d) Calcule o vetor campo elétrico a uma distância r>R (11 ptos). (e) Calcule o vetor campo elétrico a uma distância r<R. (5 ptos). (f) Finalmente, calcule o potencial fora da esfera (r>R) (7 ptos) e dentro (r<R) (10 ptos).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • Uma esfera (casca esférica) de raio R com densidade superficial de carga uniforme \sigma.
    • Quer-se usar a relação V_{f}-V_{i}=-\int_{i}^{f}\vec{E}\cdot d\vec{r} para obter o potencial a uma distância r.
  • Perguntas (itens do enunciado):
    (a) Escrever a equação “lei de Gauss”.
    (b) Determinar a direção do vetor campo elétrico \vec{E}.
    (c) Indicar qual superfície gaussiana facilita o cálculo da integral de superfície.
    (d) Calcular o vetor campo elétrico para r>R.
    (e) Calcular o vetor campo elétrico para r<R.
    (f) Calcular o potencial para r>R e para r<R.

Passo 2

(a) Escrever a lei de Gauss e explicar cada termo.
A lei de Gauss, em forma integral, é
\oint_{\mathcal{S}} \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Explicação didática:
  • \oint_{\mathcal{S}} indica integração sobre uma superfície fechada \mathcal{S}.
  • \vec{E} é o campo elétrico em cada ponto da superfície.
  • d\vec{A} é o elemento de área orientado da superfície (vetor com módulo igual à área do elemento e direção normal para fora).
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada \mathcal{S}.
  • \varepsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo.
    A lei diz que o fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada é igual à carga interna dividida por \varepsilon_{0}.

Passo 3

(b) Qual a direção do vetor campo elétrico?
Pelo enunciado a distribuição de carga é esfericamente simétrica (densidade superficial uniforme). Pela simetria:
  • O campo elétrico em qualquer ponto só pode depender da distância radial r ao centro e deve apontar ao longo da direção radial.
    Portanto, a direção de \vec{E} é radial: \vec{E}(r)=E(r)\,\hat{r}.
  • Se \sigma>0 o campo aponta para fora (no sentido de \hat{r}); se \sigma<0 aponta para dentro (no sentido -\hat{r}).

Passo 4

(c) Qual superfície gaussiana usar?
Pela simetria esférica, a superfície gaussiana conveniente é uma esfera concêntrica com a casca, de raio r (onde se quer conhecer \vec E). Motivos didáticos:
  • Sobre essa esfera o campo \vec E tem módulo constante (por simetria) e direção radial, então \vec E\cdot d\vec A = E(r)\,dA.
  • A integral de superfície simplifica para E(r) vezes a área total 4\pi r^{2}.

Passo 5

(d) Calcular \vec{E} para r>R.
Passo-a-passo didático:
  1. Calcular a carga total Q presente na casca esférica. A densidade superficial \sigma (carga por unidade de área) multiplicada pela área da esfera dá:
Q=\sigma \cdot 4\pi R^{2}.
  1. Considerar uma superfície gaussiana esférica de raio r>R, concêntrica. A carga dentro dessa superfície é toda a carga Q da casca (pois a casca está contida inteiramente na superfície gaussiana).
  2. Aplicar a lei de Gauss:
\oint_{\text{esfera}_{r}} \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}.
Como \vec{E}=E(r)\,\hat{r} e d\vec{A}=\hat{r}\,dA na esfera, temos \vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\,dA. Então a integral vira
E(r)\int_{\text{esfera}} dA = E(r)\cdot 4\pi r^{2} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}.
  1. Isolar E(r):
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}.
  1. Substituir Q=\sigma 4\pi R^{2}:
E(r)=\frac{\sigma 4\pi R^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}=\frac{R^{2}\sigma}{\varepsilon_{0}\,r^{2}}.
  1. Escrever o vetor campo com direção radial (para \sigma>0, para fora):
\boxed{\vec{E}(r)=\frac{R^{2}\sigma}{\varepsilon_{0}\,r^{2}}\,\hat{r},\qquad r>R.}
Observação: essa expressão é equivalente à expressão de uma carga pontual Q colocada no centro, pois para fora a casca se comporta eletrostaticamente como carga concentrada no centro.

Passo 6

(e) Calcular \vec{E} para r<R.
Passo-a-passo didático:
  1. Escolher uma esfera gaussiana de raio r<R. A casca esférica de raio R está fora dessa superfície; como a carga está apenas sobre a superfície r=R, não há carga contida dentro da superfície gaussiana de raio r<R.
  2. Pelo lado direito da lei de Gauss, Q_{\text{int}}=0. Então o fluxo é zero:
\oint_{\text{esfera}_{r}} \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{0}{\varepsilon_{0}}=0.
  1. Pela simetria o campo tem que ser radial e de módulo constante na esfera gaussiana; a única solução consistente com fluxo nulo é E(r)=0.
  2. Portanto:
\boxed{\vec{E}(r)=\vec{0},\qquad r<R.}
Interpretação física: dentro de uma casca condutora (ou simplesmente de uma casca com carga apenas na superfície isolada), o campo elétrico é nulo no interior.

Passo 7

(f) Calcular o potencial para r>R e r<R. Vou usar como referência V(\infty)=0.
Primeiro lembrete sobre potencial e relação com o campo:
  • A diferença de potencial entre dois pontos a e b é
V(b)-V(a)=-\int_{a}^{b}\vec{E}\cdot d\vec{r}.
  • Tomando a=\infty e V(\infty)=0, obtemos
V(r)=-\int_{\infty}^{r}\vec{E}\cdot d\vec{r}.
É frequentemente mais conveniente trocar os limites:
V(r)=\int_{r}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}.
Para trajetórias radiais com \vec{E}=E(r')\hat r escolhemos d\vec r = dr'\,\hat r e então \vec E\cdot d\vec r = E(r')\,dr'.
Agora calcular os casos.
Caso 1: r>R.
Usar a expressão de E(r') para r'>R:
E(r')=\frac{R^{2}\sigma}{\varepsilon_{0}\,{r'}^{2}}.
Então
V(r)=\int_{r}^{\infty} E(r')\,dr'=\int_{r}^{\infty} \frac{R^{2}\sigma}{\varepsilon_{0}\,{r'}^{2}}\,dr'.
Calcular a integral:
V(r)=\frac{R^{2}\sigma}{\varepsilon_{0}}\left[-\frac{1}{r'}\right]_{r}^{\infty} =\frac{R^{2}\sigma}{\varepsilon_{0}}\left(0+\frac{1}{r}\right) =\frac{R^{2}\sigma}{\varepsilon_{0}\,r}.
Também se pode escrever em termos de Q:
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r}\quad\text{com }Q=4\pi R^{2}\sigma.
Portanto, para r>R:
\boxed{V(r)=\frac{R^{2}\sigma}{\varepsilon_{0}\,r},\qquad r>R.}
Caso 2: r<R.
Dentro da casca \vec{E}=\vec{0}. O potencial, sendo a integral do campo, será constante no interior e igual ao valor no contorno r=R. Assim
V(r)=V(R)=\frac{R^{2}\sigma}{\varepsilon_{0}\,R}=\frac{R\sigma}{\varepsilon_{0}}.
Portanto:
\boxed{V(r)=\frac{R\sigma}{\varepsilon_{0}},\qquad r<R.}
Observação final: o potencial é contínuo em r=R. Derivada radial do potencial (i.e. campo) tem salto apropriado na superfície, consistente com a densidade superficial \sigma.

Resposta

(a) \displaystyle \oint_{\mathcal{S}}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
(b) \displaystyle \vec{E}(r)=E(r)\,\hat{r} (direção radial; aponta para fora se \sigma>0).
(c) Superfície gaussiana: esfera concêntrica de raio r.
(d) \displaystyle \vec{E}(r)=\frac{R^{2}\sigma}{\varepsilon_{0}\,r^{2}}\,\hat{r},\qquad r>R.
(e) \displaystyle \vec{E}(r)=\vec{0},\qquad r<R.
(f) \displaystyle V(r)=\frac{R^{2}\sigma}{\varepsilon_{0}\,r},\qquad r>R.
\displaystyle V(r)=\frac{R\sigma}{\varepsilon_{0}},\qquad r<R.

Exercícios relacionados