Deseja-se calcular o potencial a uma distância
, de uma esfera de raio
e densidade superficial
uniforme, utilizando-se a relação
. Para tanto, primeiro deve-se calcular o vetor campo elétrico a uma distância
(dentro e fora da esfera). (a) Escreva a equação “lei de Gauss” (3 ptos). (b) Qual a direção do vetor campo elétrico? (2 ptos). (c) Sabendo a direção do vetor campo elétrico é possível utilizar uma superfície gaussiana para calcular a integral de superfície facilmente. Qual é esta superfície (2 ptos). (d) Calcule o vetor campo elétrico a uma distância
(11 ptos). (e) Calcule o vetor campo elétrico a uma distância
. (5 ptos). (f) Finalmente, calcule o potencial fora da esfera
(7 ptos) e dentro
(10 ptos).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados:
- Uma esfera (casca esférica) de raio
com densidade superficial de carga uniforme . - Quer-se usar a relação
para obter o potencial a uma distância .
- Uma esfera (casca esférica) de raio
- Perguntas (itens do enunciado):
(a) Escrever a equação “lei de Gauss”.
(b) Determinar a direção do vetor campo elétrico.
(c) Indicar qual superfície gaussiana facilita o cálculo da integral de superfície.
(d) Calcular o vetor campo elétrico para.
(e) Calcular o vetor campo elétrico para.
(f) Calcular o potencial parae para .
Passo 2
(a) Escrever a lei de Gauss e explicar cada termo.
A lei de Gauss, em forma integral, é
Explicação didática:
-
indica integração sobre uma superfície fechada . -
é o campo elétrico em cada ponto da superfície. -
é o elemento de área orientado da superfície (vetor com módulo igual à área do elemento e direção normal para fora). -
é a carga total contida dentro da superfície fechada . -
é a permissividade elétrica do vácuo.
A lei diz que o fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada é igual à carga interna dividida por.
Passo 3
(b) Qual a direção do vetor campo elétrico?
Pelo enunciado a distribuição de carga é esfericamente simétrica (densidade superficial uniforme). Pela simetria:
- O campo elétrico em qualquer ponto só pode depender da distância radial
ao centro e deve apontar ao longo da direção radial.
Portanto, a direção deé radial: . - Se
o campo aponta para fora (no sentido de ); se aponta para dentro (no sentido ).
Passo 4
(c) Qual superfície gaussiana usar?
Pela simetria esférica, a superfície gaussiana conveniente é uma esfera concêntrica com a casca, de raio
(onde se quer conhecer
). Motivos didáticos:
- Sobre essa esfera o campo
tem módulo constante (por simetria) e direção radial, então . - A integral de superfície simplifica para
vezes a área total .
Passo 5
(d) Calcular
para
.
Passo-a-passo didático:
- Calcular a carga total
presente na casca esférica. A densidade superficial (carga por unidade de área) multiplicada pela área da esfera dá:
-
Considerar uma superfície gaussiana esférica de raio
, concêntrica. A carga dentro dessa superfície é toda a carga da casca (pois a casca está contida inteiramente na superfície gaussiana). -
Aplicar a lei de Gauss:
Como
e
na esfera, temos
. Então a integral vira
- Isolar
:
- Substituir
:
- Escrever o vetor campo com direção radial (para
, para fora):
Observação: essa expressão é equivalente à expressão de uma carga pontual
colocada no centro, pois para fora a casca se comporta eletrostaticamente como carga concentrada no centro.
Passo 6
(e) Calcular
para
.
Passo-a-passo didático:
-
Escolher uma esfera gaussiana de raio
. A casca esférica de raio está fora dessa superfície; como a carga está apenas sobre a superfície , não há carga contida dentro da superfície gaussiana de raio . -
Pelo lado direito da lei de Gauss,
. Então o fluxo é zero:
-
Pela simetria o campo tem que ser radial e de módulo constante na esfera gaussiana; a única solução consistente com fluxo nulo é
. -
Portanto:
Interpretação física: dentro de uma casca condutora (ou simplesmente de uma casca com carga apenas na superfície isolada), o campo elétrico é nulo no interior.
Passo 7
(f) Calcular o potencial para
e
. Vou usar como referência
.
Primeiro lembrete sobre potencial e relação com o campo:
- A diferença de potencial entre dois pontos
e é
- Tomando
e , obtemos
É frequentemente mais conveniente trocar os limites:
Para trajetórias radiais com
escolhemos
e então
.
Agora calcular os casos.
Caso 1:
.
Usar a expressão de
para
:
Então
Calcular a integral:
Também se pode escrever em termos de
:
Portanto, para
:
Caso 2:
.
Dentro da casca
. O potencial, sendo a integral do campo, será constante no interior e igual ao valor no contorno
. Assim
Portanto:
Observação final: o potencial é contínuo em
. Derivada radial do potencial (i.e. campo) tem salto apropriado na superfície, consistente com a densidade superficial
.
Resposta
(a)
(b)
(direção radial; aponta para fora se
).
(c) Superfície gaussiana: esfera concêntrica de raio
.
(d)
(e)
(f)