17- Seja f(x, y)=e^{x} sen y. Assinale a afirmação correta.
E) NRA
a) f tem um máximo relativo e um mínimo relativo
b) f tem apenas um máximo relativo
c) f tem apenas um mínimo relativo
d) f tem um ponto de sela

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=e^{x}\operatorname{sen} y e pede que se assinale a afirmação correta entre:
  • (a) f tem um máximo relativo e um mínimo relativo;
  • (b) f tem apenas um máximo relativo;
  • (c) f tem apenas um mínimo relativo;
  • (d) f tem um ponto de sela;
  • (e) NRA (nenhuma das anteriores).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=e^{x}\operatorname{sen} y.
  • O domínio implícito é todo o plano \mathbb{R}^2 (não foi dada restrição).
  • As opções listam possíveis tipos de extremos ou ponto de sela.

Passo 2

Estratégia (teoria necessária, explicada de forma didática):
  • Para achar máximos/minimos relativos de uma função diferenciável de duas variáveis, o passo inicial é procurar pontos críticos (ou estacionários), isto é, pontos onde o gradiente é nulo. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\; \dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
  • Teorema importante (usado direto em provas): se f tem um máximo ou mínimo relativo em um ponto interior do domínio e f é diferenciável ali, então o gradiente nesse ponto é o vetor zero. Ou seja, todo extremo interior implica ponto crítico. Logo, se não houver pontos críticos, não pode haver extremos relativos internos.
  • Definição de ponto de sela: costuma-se chamar ponto de sela a um ponto crítico (gradiente zero) que não é nem máximo nem mínimo relativo (a superfície sobe em algumas direções e desce em outras). Assim, ponto de sela também exige gradiente nulo.
  • Portanto, primeiro passo prático: calcular as derivadas parciais, resolver \nabla f=0. Depois, com quaisquer pontos críticos encontrados, usar teste da Hessiana se necessário. Se nenhum ponto crítico existir, já se conclui que não há máximos/minimos relativos nem pontos de sela internos.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (aqui ensino como derivar passo a passo):
  • A função é produto de e^{x} (função apenas de x) por \operatorname{sen} y (função apenas de y). Ao derivar parcialmente em relação a x, tratamos \operatorname{sen} y como constante; ao derivar em relação a y, tratamos e^{x} como constante.
  • Derivada parcial em x:
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{d}{dx}\big(e^{x}\big)\cdot \operatorname{sen} y = e^{x}\operatorname{sen} y.
  • Derivada parcial em y:
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{x}\cdot \dfrac{d}{dy}\big(\operatorname{sen} y\big) = e^{x}\cos y.
Obs.: aqui usei que \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e \dfrac{d}{dy}\operatorname{sen} y=\cos y. Importante notar que e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Resolver \nabla f(x,y)=0\), isto é, o sistema \[\begin{cases} e^{x}\operatorname{sen} y = 0,\\[4pt] e^{x}\cos y = 0. \end{cases}
  • Como e^{x}>0\] para todo \[x, podemos dividir as duas equações por e^{x} (ou simplesmente concluir que a parte exponencial nunca anula), ficando o sistema equivalente a
\begin{cases} \operatorname{sen} y = 0,\\[4pt] \cos y = 0. \end{cases}
  • Não existe valor de y\] que satisfaça simultaneamente \(\operatorname{sen} y=0 e \cos y=0: seno e cosseno não são nulos ao mesmo tempo. Logo, o sistema não tem solução; em outras palavras, não existem pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2 com \nabla f(x,y)=0.]

Passo 5

Consequência imediata da ausência de pontos críticos:
  • Pelo teorema mencionado, quaisquer extremos relativos internos exigiriam \nabla f=0. Como não há pontos com \nabla f=0, não existem máximos relativos nem mínimos relativos interiores em \mathbb{R}^2.
  • Ponto de sela (como definido usualmente) também exige gradiente nulo. Como não há pontos críticos, não há ponto de sela.

Passo 6

Verificação adicional (intuição sobre globalidade e comportamento da função, útil para firmar a conclusão):
  • Para cada x fixo, \operatorname{sen} y varia entre -1 e 1, logo os valores de f em uma linha vertical \{x\}\times\mathbb{R} estão no intervalo [-e^{x},\,e^{x}].
  • A função é ilimitada superiormente porque, escolhendo y=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi com k\in\mathbb{Z}, tem-se \operatorname{sen} y=1 e f(x,y)=e^{x}. Fazendo x\to+\infty obtém-se f\to+\infty. Portanto não há máximo global finito.
  • Analogamente é ilimitada inferiormente porque, escolhendo y=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi com \operatorname{sen} y=-1, tem-se f(x,y)=-e^{x} e variando x\to+\infty f\to-\infty. Portanto não há mínimo global finito.
  • Essas observações confirmam: não existem máximos nem mínimos nem locais nem globais, e tampouco há pontos de sela (pois não há pontos críticos).

Passo 7

Conclusão final em relação às alternativas:
  • As alternativas (a), (b), (c) e (d) afirmam a existência de algum tipo de ponto crítico (máximo, mínimo ou sela). Mostramos que não existe nenhum ponto com \nabla f=0, logo todas essas alternativas são falsas.
  • Portanto a alternativa correta é a (e) NRA (nenhuma das anteriores).

Resposta

E) NRA

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