17- Seja
sen
. Assinale a afirmação correta.
E) NRA
a)
tem um máximo relativo e um mínimo relativo
b)
tem apenas um máximo relativo
c)
tem apenas um mínimo relativo
d)
tem um ponto de sela
E) NRA
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se assinale a afirmação correta entre:
- (a)
tem um máximo relativo e um mínimo relativo; - (b)
tem apenas um máximo relativo; - (c)
tem apenas um mínimo relativo; - (d)
tem um ponto de sela; - (e) NRA (nenhuma das anteriores).
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O domínio implícito é todo o plano
(não foi dada restrição). - As opções listam possíveis tipos de extremos ou ponto de sela.
Passo 2
Estratégia (teoria necessária, explicada de forma didática):
- Para achar máximos/minimos relativos de uma função diferenciável de duas variáveis, o passo inicial é procurar pontos críticos (ou estacionários), isto é, pontos onde o gradiente é nulo. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
- Teorema importante (usado direto em provas): se
tem um máximo ou mínimo relativo em um ponto interior do domínio e é diferenciável ali, então o gradiente nesse ponto é o vetor zero. Ou seja, todo extremo interior implica ponto crítico. Logo, se não houver pontos críticos, não pode haver extremos relativos internos. - Definição de ponto de sela: costuma-se chamar ponto de sela a um ponto crítico (gradiente zero) que não é nem máximo nem mínimo relativo (a superfície sobe em algumas direções e desce em outras). Assim, ponto de sela também exige gradiente nulo.
- Portanto, primeiro passo prático: calcular as derivadas parciais, resolver
. Depois, com quaisquer pontos críticos encontrados, usar teste da Hessiana se necessário. Se nenhum ponto crítico existir, já se conclui que não há máximos/minimos relativos nem pontos de sela internos.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (aqui ensino como derivar passo a passo):
- A função é produto de
(função apenas de ) por (função apenas de ). Ao derivar parcialmente em relação a , tratamos como constante; ao derivar em relação a , tratamos como constante. - Derivada parcial em
:
- Derivada parcial em
:
Obs.: aqui usei que
e
. Importante notar que
para todo
.
Passo 4
Resolver
- Como
, podemos dividir as duas equações por
(ou simplesmente concluir que a parte exponencial nunca anula), ficando o sistema equivalente a
- Não existe valor de
e
: seno e cosseno não são nulos ao mesmo tempo. Logo, o sistema não tem solução; em outras palavras, não existem pontos com .]
Passo 5
Consequência imediata da ausência de pontos críticos:
- Pelo teorema mencionado, quaisquer extremos relativos internos exigiriam
. Como não há pontos com , não existem máximos relativos nem mínimos relativos interiores em . - Ponto de sela (como definido usualmente) também exige gradiente nulo. Como não há pontos críticos, não há ponto de sela.
Passo 6
Verificação adicional (intuição sobre globalidade e comportamento da função, útil para firmar a conclusão):
- Para cada
fixo, varia entre e , logo os valores de em uma linha vertical estão no intervalo . - A função é ilimitada superiormente porque, escolhendo
com , tem-se e . Fazendo obtém-se . Portanto não há máximo global finito. - Analogamente é ilimitada inferiormente porque, escolhendo
com , tem-se e variando dá . Portanto não há mínimo global finito. - Essas observações confirmam: não existem máximos nem mínimos nem locais nem globais, e tampouco há pontos de sela (pois não há pontos críticos).
Passo 7
Conclusão final em relação às alternativas:
- As alternativas (a), (b), (c) e (d) afirmam a existência de algum tipo de ponto crítico (máximo, mínimo ou sela). Mostramos que não existe nenhum ponto com
, logo todas essas alternativas são falsas. - Portanto a alternativa correta é a (e) NRA (nenhuma das anteriores).
Resposta
E) NRA