13- Encontre um vetor unitário na direção do qual f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} cresce mais rapidamente em P(4,-3) ?
C) \left\langle\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right\rangle
a) \left\langle\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right\rangle
b) \left\langle-\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right\rangle
d) \left\langle-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right\rangle
e) NRA

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se um vetor unitário na direção em que f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} cresce mais rapidamente no ponto P(4,-3).
  • Informações relevantes do enunciado:
    • A função é f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
    • O ponto é P(4,-3).
    • As alternativas fornecidas são:
      • a) \left\langle\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right\rangle
      • b) \left\langle-\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right\rangle
      • c) \left\langle\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right\rangle
      • d) \left\langle-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right\rangle
      • e) NRA

Passo 2

Ideia principal (conceito que vamos usar) — o gradiente:
  • Em funções de duas variáveis, o vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais e aponta na direção de máximo crescimento de f. Ou seja, o vetor direção onde f cresce mais rápido em um ponto é o vetor gradiente naquele ponto.
  • Definição do gradiente: para f(x,y), \nabla f(x,y)=\left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\\ \frac{\partial f}{\partial y}\right\rangle.Aqui \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y fixo) e \frac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}:
  • É útil escrever f como f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{1/2}. Usando a regra da cadeia para potências, \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2y=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • Portanto o gradiente geral é \nabla f(x,y)=\left\langle \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\\ \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right\rangle.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P(4,-3):
  • Primeiro calcule \sqrt{x^{2}+y^{2}} em P: \sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
  • Substituindo em \nabla f: \nabla f(4,-3)=\left\langle \frac{4}{5},\\ \frac{-3}{5}\right\rangle.

Passo 5

Verificar que esse vetor é unitário (módulo igual a 1):
  • Calcular o comprimento do vetor \left\langle \frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right\rangle: \left\|\left\langle \frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right\rangle\right\|= \sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{25}{25}}=1.
  • Como o gradiente em P já tem norma 1, ele é um vetor unitário que aponta na direção de máximo crescimento.

Passo 6

Conclusão e correspondência com as alternativas:
  • O vetor unitário na direção de máximo crescimento em P(4,-3) é \left\langle\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right\rangle.
  • Nas alternativas, isso corresponde à alternativa \text{c)}.

Resposta

C) \left\langle\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right\rangle

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