13- Encontre um vetor unitário na direção do qual f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} cresce mais rapidamente em P(4,-3) ?
C) \left\langle\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right\rangle
a) \left\langle\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right\rangle
b) \left\langle-\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right\rangle
d) \left\langle-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right\rangle
e) NRA
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
Pede-se um vetor unitário na direção em que f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} cresce mais rapidamente no ponto P(4,-3).
Informações relevantes do enunciado:
A função é f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O ponto é P(4,-3).
As alternativas fornecidas são:
a) \left\langle\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right\rangle
b) \left\langle-\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right\rangle
c) \left\langle\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right\rangle
Ideia principal (conceito que vamos usar) — o gradiente:
Em funções de duas variáveis, o vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais e aponta na direção de máximo crescimento de f. Ou seja, o vetor direção onde f cresce mais rápido em um ponto é o vetor gradiente naquele ponto.
Definição do gradiente: para f(x,y),\nabla f(x,y)=\left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\\ \frac{\partial f}{\partial y}\right\rangle.Aqui \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y fixo) e \frac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}:
É útil escrever f como f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{1/2}. Usando a regra da cadeia para potências,\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.