16- Seja f(x, y)=x^{2}+x y-2 y-2 x+1. Assinale a afirmação correta.
D) f tem um ponto de sela
a) f tem um máximo relativo e um mínimo relativo
b) f tem apenas um máximo relativo
c) f tem apenas um mínimo relativo
e) NRA

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=x^{2}+x y-2 y-2 x+1 e pede que se assinale a afirmação correta entre as opções listadas:
  • D) f tem um ponto de sela
  • a) f tem um máximo relativo e um mínimo relativo
  • b) f tem apenas um máximo relativo
  • c) f tem apenas um mínimo relativo
  • e) NRA
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x,y).
  • As alternativas acima; espera-se classificar os pontos críticos de f e decidir qual alternativa é verdadeira.

Passo 2

Encontrar os pontos críticos: devemos calcular as derivadas parciais primeiras de f e igualá-las a zero (gradiente nulo). Isso vem da ideia de que pontos internos onde f pode ter extremos ou sela verificam \nabla f=(0,0).
Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y-2, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x-2.
Igualando a zero o sistema:
2x+y-2=0, \qquad x-2=0.
Da segunda equação obtemos imediatamente
x=2.
Substituindo em \frac{\partial f}{\partial x}=0:
2\cdot 2 + y -2 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4 + y -2 = 0 \quad\Rightarrow\quad y=-2.
Logo há um único ponto crítico: (x,y)=(2,-2).

Passo 3

Classificar o ponto crítico usando as segundas derivadas (teste da derivada segunda para funções de duas variáveis).
Calcular as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=f_{xx}=2, \qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=f_{xy}=1, \qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=f_{yy}=0.
O determinante da matriz Hessiana (também chamado de D) no ponto crítico é
D=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}=2\cdot 0-1^{2}=-1.
A interpretação do teste é:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Aqui temos D=-1<0. Portanto, pelo teste, o ponto crítico (2,-2) é um ponto de sela.

Passo 4

Para fixar a intuição (e mostrar de modo construtivo que há direções onde f sobe e outras onde f desce em torno do ponto crítico), expandimos f em torno de (2,-2). Fazendo a mudança de variáveis
u=x-2,\qquad v=y+2
(observe que u=0,v=0 corresponde a (x,y)=(2,-2)), substituímos em f e obtém-se a forma quadrática centrada:
f(x,y)=1+u^{2}+u v.
Portanto
f(x,y)-1=u^{2}+u v.
Esse polinômio quadrático Q(u,v)=u^{2}+u v assume valores positivos e negativos: por exemplo
  • para u=1,v=0: Q=1>0 (levanta acima de 1);
  • para u=1,v=-2: Q=1-2=-1<0 (abaixa abaixo de 1).
Assim existem direções onde f aumenta e outras onde f diminui em relação ao valor f(2,-2)=1, caracterizando um ponto de sela de forma explícita.

Passo 5

Conclusão: existe exatamente um ponto crítico e ele é um ponto de sela. Portanto a alternativa correta é a que afirma que f tem um ponto de sela.

Resposta

D) f tem um ponto de sela

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