16- Seja
. Assinale a afirmação correta.
D)
tem um ponto de sela
a)
tem um máximo relativo e um mínimo relativo
b)
tem apenas um máximo relativo
c)
tem apenas um mínimo relativo
e) NRA
D)
a)
b)
c)
e) NRA
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede que se assinale a afirmação correta entre as opções listadas:
- D)
tem um ponto de sela - a)
tem um máximo relativo e um mínimo relativo - b)
tem apenas um máximo relativo - c)
tem apenas um mínimo relativo - e) NRA
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
. - As alternativas acima; espera-se classificar os pontos críticos de
e decidir qual alternativa é verdadeira.
Passo 2
Encontrar os pontos críticos: devemos calcular as derivadas parciais primeiras de
e igualá-las a zero (gradiente nulo). Isso vem da ideia de que pontos internos onde
pode ter extremos ou sela verificam
.
Calcular as derivadas parciais:
Igualando a zero o sistema:
Da segunda equação obtemos imediatamente
Substituindo em
:
Logo há um único ponto crítico:
.
Passo 3
Classificar o ponto crítico usando as segundas derivadas (teste da derivada segunda para funções de duas variáveis).
Calcular as segundas derivadas:
O determinante da matriz Hessiana (também chamado de
) no ponto crítico é
A interpretação do teste é:
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Aqui temos
. Portanto, pelo teste, o ponto crítico
é um ponto de sela.
Passo 4
Para fixar a intuição (e mostrar de modo construtivo que há direções onde
sobe e outras onde
desce em torno do ponto crítico), expandimos
em torno de
. Fazendo a mudança de variáveis
(observe que
corresponde a
), substituímos em
e obtém-se a forma quadrática centrada:
Portanto
Esse polinômio quadrático
assume valores positivos e negativos: por exemplo
- para
: (levanta acima de ); - para
: (abaixa abaixo de ).
Assim existem direções onde
aumenta e outras onde
diminui em relação ao valor
, caracterizando um ponto de sela de forma explícita.
Passo 5
Conclusão: existe exatamente um ponto crítico e ele é um ponto de sela. Portanto a alternativa correta é a que afirma que
tem um ponto de sela.
Resposta
D)
tem um ponto de sela