17²) Tendo sido feito o levantamento topográfico dos pontos A e B , por irradiaçāo, a partir da Estação O, cujos valores medidos foram:
\mathrm{R}_{\overline{\mathrm{OA}}}=38^{\circ} 45^{\prime} \mathrm{NW} ; \quad \overline{\mathrm{OA}}=138,27 \mathrm{~m} ; \quad \mathrm{R}_{\overline{\mathrm{OB}}}=57^{\circ} 20^{\prime} \mathrm{SW} ; \quad \overline{\mathrm{OB}}=95,40 \mathrm{~m}.
Pede-se determinar:
a) as coordenadas retangulares dos pontos A e B , sabendo-se que as coordenadas de O são: \mathrm{X}_{\mathrm{O}}=600,00 \mathrm{~m} e \mathrm{Y}_{\mathrm{O}}=400,00 \mathrm{~m};
b) a distância \overline{\mathrm{AB}};
c) o valor do azimute da direção \overline{\mathrm{AB}}.

Passo 1

O enunciado dá a estação O com coordenadas conhecidas (X_O,Y_O)=(600,00,\,400,00) e os levantamentos por irradiação de dois pontos A e B, com rumos e distâncias:
\mathrm{R}_{\overline{OA}}=38^\circ45'\text{ NW}, \overline{OA}=138,27 m;
\mathrm{R}_{\overline{OB}}=57^\circ20'\text{ SW}, \overline{OB}=95,40 m.
Precisamos usar trigonometria para converter cada rumo em variações \Delta X,\Delta Y, somar a O para obter as coordenadas de A e B, depois aplicar a fórmula de distância no plano e usar arco-tangente para o azimute de \overline{AB}.

Passo 2

Para converter um rumo genérico em \Delta X (leste-oeste) e \Delta Y (norte-sul) usamos:
– se for \text{N}\theta\text{W}:
\Delta X = -L\sin\theta, \qquad \Delta Y = +L\cos\theta
– se for \text{S}\theta\text{W}:
\Delta X = -L\sin\theta, \qquad \Delta Y = -L\cos\theta

Passo 3

Aplicando ao ponto A ( \text{N}38^\circ45'\text{W}, L=138,27 m):
\Delta X_A = -138,27\sin(38^\circ45') \approx -86,54
\Delta Y_A = +138,27\cos(38^\circ45') \approx 107,83
Então
X_A = X_O + \Delta X_A = 600,00 - 86,54 = 513,46
Y_A = Y_O + \Delta Y_A = 400,00 +107,83 = 507,83

Passo 4

Para B ( \text{S}57^\circ20'\text{W}, L=95,40 m):
\Delta X_B = -95,40\sin(57^\circ20') \approx -80,30
\Delta Y_B = -95,40\cos(57^\circ20') \approx -51,50
Logo
X_B = 600,00 - 80,30 = 519,70
Y_B = 400,00 - 51,50 = 348,50

Passo 5

A distância \overline{AB} é
\Delta X = X_B - X_A = 519,70 - 513,46 = 6,24,
\Delta Y = Y_B - Y_A = 348,50 - 507,83 = -159,33.
\overline{AB} = \sqrt{(6,24)^2 + (-159,33)^2} \approx 159,46\\ \text{m}

Passo 6

O azimute de \overline{AB} mede-se a partir do Norte no sentido horário. Usamos
Az = \arctan\frac{\Delta X}{\Delta Y}
com \Delta X=+6,24, \Delta Y=-159,33. Como \Delta Y<0 há acréscimo de 180^\circ:
\alpha = \arctan\frac{6,24}{159,33}\approx2^\circ14'40'', \qquad Az = 180^\circ - 2^\circ14'40'' = 177^\circ45'20''.

Resposta

(a) X_A=513,46 m, Y_A=507,83 m; X_B=519,70 m, Y_B=348,50 m
(b) \overline{AB}=159,46 m
(c) Az_{AB}=177^\circ45'20''

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