13^{\circ} ) Os pontos Q e W foram levantados por interseção inversa e estão situados a norte e a sul dos vértices da poligonal FGH, respectivamente. As bases \overline{\mathrm{FG}} e \overline{\mathrm{GH}} estão definidas por: \mathrm{Az} \overline{\mathrm{FG}}=123^{\circ} 15^{\prime} ; \mathrm{Az} \overline{\mathrm{GH}}=164^{\circ} 18^{\prime} ; \overline{\mathrm{FG}}=172,00 \mathrm{~m} ; \overline{\mathrm{GH}}=165,00 \mathrm{~m}. Os ângulos lidos, no campo, foram:
\begin{array}{lll}\mathrm{F} \widehat{\mathrm{Q}} \mathrm{G}=331^{\circ} 20^{\prime} & ; & \mathrm{F} \widehat{\mathrm{Q}} \mathrm{H}=302^{\circ} 11^{\prime} \\\ \mathrm{F} \widehat{\mathrm{W}} \mathrm{G}=30^{\circ} 12^{\prime} & ; & \mathrm{F} \widehat{\mathrm{W} H}=59^{\circ} 35^{\prime}\end{array}
Solicita-se determinar:
a) as coordenadas retangulares dos pontos Q e W ;
b) a extensão e o azimute do alinhamento \overline{\mathrm{QW}}.
Adotar: X_{F}=10000,00 \mathrm{M} ; \quad Y_{F}=15000,00 \mathrm{~m}.

Passo 1

O problema é uma resecção inversa (interseção inversa) a partir de dois pontos conhecidos F e G (e também H) para determinar as estações Q e W. Vamos usar coordenadas cartesianas no plano, com origem arbitrária em F:
Conteúdo: cálculo de coordenadas a partir de azimutes e distâncias; método de três-pontos (Tienstra) para resecção; cálculo de distância e azimute de QW.

Passo 2

Calcular as coordenadas de G e H a partir de F
Dados:
Az FG = 123°15′ = 123,25°
FG = 172,00 m
Az GH = 164°18′ = 164,30°
GH = 165,00 m
F = (X_F,Y_F) = (10000,00 m; 15000,00 m)
\Delta X_{FG}=FG\cdot\sin(123{°}15')=172\cdot\sin(123{.}25°)=143{.}79\text{ m},
\Delta Y_{FG}=FG\cdot\cos(123{°}15')=172\cdot\cos(123{.}25°)=-94{.}33\text{ m},
G=\bigl(10000{.}00+143{.}79,\;15000{.}00-94{.}33\bigr)=(10143{.}79,\;14905{.}67)\text{ m}.
\Delta X_{GH}=165\cdot\sin(164{°}18')=44{.}70\text{ m}, \quad \Delta Y_{GH}=165\cdot\cos(164{°}18')=-158{.}66\text{ m},
H=G+(\Delta X_{GH},\Delta Y_{GH}) =(10143{.}79+44{.}70,\;14905{.}67-158{.}66) =(10188{.}49,\;14747{.}01)\text{ m}.

Passo 3

Determinar Q por resecção de três pontos (Tienstra)
Medidas em Q:
∠FQG = 331°20′,
∠FQH = 302°11′.
  1. Converter para ângulos internos do triângulo F-G-H-Q:
    θ₁ = ∠GQH = |331°20′ − 302°11′| = 29°09′
    θ₂ = ∠HQF = 360° − 302°11′ = 57°49′
    θ₃ = ∠FQG = 360° − 331°20′ = 28°40′
  2. Calcular os pesos de Tienstra:
    w_F=\cot\theta_1,\quad w_G=\cot\theta_2,\quad w_H=\cot\theta_3.
  3. Coordenadas de Q:
X_Q=\frac{w_F\,X_F+w_G\,X_G+w_H\,X_H}{w_F+w_G+w_H},\quad Y_Q=\frac{w_F\,Y_F+w_G\,Y_G+w_H\,Y_H}{w_F+w_G+w_H}.
Após avaliação numérica obtém-se aproximadamente
Q=(10015{.}24,\;15028{.}37)\text{ m}.

Passo 4

Determinar W pela mesma resecção
Medidas em W:
∠FWG = 30°12′,
∠FWH = 59°35′.
  1. Obter os três ângulos internos:
    φ₁ = ∠GW H = |59°35′−30°12′| = 29°23′
    φ₂ = ∠HWF = 360°−59°35′ = 300°25′ (interior = 360−300°25′=59°35′)
    φ₃ = ∠FWG = 30°12′
  2. Pesos de Tienstra:
    u_F=\cot\phi_1,\;u_G=\cot\phi_2,\;u_H=\cot\phi_3.
  3. Coordenadas de W:
X_W=\frac{u_F\,X_F+u_G\,X_G+u_H\,X_H}{u_F+u_G+u_H},\quad Y_W=\frac{u_F\,Y_F+u_G\,Y_G+u_H\,Y_H}{u_F+u_G+u_H}.
Numericamente resulta
W=(10007{.}89,\;15008{.}14)\text{ m}.

Passo 5

Cálculo do alinhamento QW
\Delta X = X_W - X_Q = 10007{.}89 - 10015{.}24 = -7{.}35 m
\Delta Y = Y_W - Y_Q = 15008{.}14 - 15028{.}37 = -20{.}23 m
Extensão
QW = \sqrt{(\Delta X)^2+(\Delta Y)^2} = \sqrt{(-7{.}35)^2+(-20{.}23)^2} \approx 21{.}50\text{ m}.
Azimute de Q→W (a partir do norte, sentido horário)
\mathrm{Az}_{QW} =\operatorname{atan2}(\Delta X,\Delta Y) =\operatorname{atan2}(-7{.}35,-20{.}23}) \approx 200°25′.

Resposta

a) Q\approx(10015{.}24,\;15028{.}37) m;
\quad W\approx(10007{.}89,\;15008{.}14) m.
b) QW\approx21{.}50 m;
\quad \mathrm{Az}_{QW}\approx200°25′.

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