12 { }^{\text {) }} ) Sendo conhecida a poligonal ABC através dos seguintes elementos: \mathrm{X}_{\mathrm{A}}=2358,00 \mathrm{~m}; \mathrm{Y}_{\mathrm{A}}=4567,89 \mathrm{~m} ; \mathrm{X}_{\mathrm{B}}=2911,66 \mathrm{~m} ; \mathrm{Y}_{\mathrm{B}}=4799,11 \mathrm{~m} ; \overline{\mathrm{BC}}=500,00 \mathrm{~m} ; \mathrm{d} \overline{\mathrm{BC}}=59^{\circ} 30^{\prime} \mathrm{D}; determinou-se, a partir de um ponto P , situado ao sul da poligonal, sua própria posiçāo, ao realizar-se as seguintes medidas angulares: \mathrm{APB}=43^{\circ} 50^{\prime} e \mathrm{BPC}=36^{\circ} 40^{\prime}.
Solicita-se determinar:
a) as coordenadas retangulares do ponto P , utilizando a solução analítica;
b) as extensões dos alinhamentos \overline{\mathrm{BP}} e \overline{\mathrm{CP}};
c) os rumos dos alinhamentos \overline{\mathrm{PA}}, \overline{\mathrm{PB}}, \overline{\mathrm{PC}}, \overline{\mathrm{CP}} e \overline{\mathrm{BP}};
d) as coordenadas retangulares do ponto C .

Passo 1

Temos a poligonal ABC com as seguintes informações conhecidas:
\bullet Coordenadas de A: \;X_A=2358{,}00\;{\rm m},\;Y_A=4567{,}89\;{\rm m}. \bullet Coordenadas de B: \;X_B=2911{,}66\;{\rm m},\;Y_B=4799{,}11\;{\rm m}. \bullet Comprimento \overline{BC}=500{,}00\;{\rm m} e rumo \overline{BC}=59^\circ30' (leste de norte).
Do ponto P, ao sul da poligonal, mediram-se os ângulos
\angle APB=43^\circ50' e \angle BPC=36^\circ40'.
Quer-se determinar
a) as coordenadas (X_P,Y_P) por solução analítica (interseção de dois arcos);
b) os comprimentos BP e CP;
c) os rumos dos alinhamentos PA,\,PB,\,PC,\,CP,\,BP;
d) as coordenadas de C.

Passo 2

Calcular as coordenadas de C a partir de B sabendo \overline{BC}=500\;{\rm m} e rumo 59^\circ30' (L de N).
\Delta X_{BC}=500\;\sin59^\circ30'=500\times0,8600\approx430{,}00\;{\rm m},
\Delta Y_{BC}=500\;\cos59^\circ30'=500\times0,5092\approx254{,}60\;{\rm m}.
Logo
X_C=X_B+\Delta X_{BC}=2911{,}66+430{,}00=3341{,}66\;{\rm m},\quad Y_C=Y_B+\Delta Y_{BC}=4799{,}11+254{,}60=5053{,}71\;{\rm m}.

Passo 3

Calcular distâncias dos lados do triângulo ABC:
AB=\sqrt{(X_B-X_A)^2+(Y_B-Y_A)^2} =\sqrt{553{,}66^2+231{,}22^2}\approx600{,}00\;{\rm m},
BC=500{,}00\;{\rm m}\quad(\text{dado}),\qquad AC=\sqrt{(X_C-X_A)^2+(Y_C-Y_A)^2}\approx1097{,}10\;{\rm m}.

Passo 4

Definir os ângulos no ponto P:
\alpha=\angle APB=43^\circ50',
\beta=\angle BPC=36^\circ40',
\gamma=\angle APC=\alpha+\beta=80^\circ30'.
Pelo teorema do cosseno nos três triângulos:
AB^2 = PA^2+PB^2-2\,PA\cdot PB\cos\alpha,
BC^2 = PB^2+PC^2-2\,PB\cdot PC\cos\beta,
AC^2 = PA^2+PC^2-2\,PA\cdot PC\cos\gamma.
Este é um sistema de três equações em PA,PB,PC.

Passo 5

Resolver o sistema para obter as extensões
\;PA,\;PB,\;PC.
Uma forma prática é associar a cada triângulo o círculo que passa por dois vértices e subtende o ângulo dado no terceiro:
– Círculo 1 em A,B com ângulo \alpha no arco \Rightarrow centro O_1, raio R_1=\dfrac{AB}{2\sin\alpha}.
– Círculo 2 em B,C com ângulo \beta no arco \Rightarrow centro O_2, raio R_2=\dfrac{BC}{2\sin\beta}.
As interseções desses dois círculos determinam P.

Passo 6

Calcular as coordenadas de P como interseção de
(X-X_{O_1})^2+(Y-Y_{O_1})^2=R_1^2, \qquad (X-X_{O_2})^2+(Y-Y_{O_2})^2=R_2^2.
Resolve-se subtraindo uma equação da outra para obter uma reta e, em seguida, substitui-se de volta num dos círculos. O ponto de interseção viável é o que fica ao sul de ABC.

Passo 7

Com (X_P,Y_P) encontrados,
– calcula-se BP=\sqrt{(X_P-X_B)^2+(Y_P-Y_B)^2} e
CP=\sqrt{(X_P-X_C)^2+(Y_P-Y_C)^2}.
– os rumos de um alinhamento UV são dados por
\displaystyle\theta_{UV}=\atan2\bigl(X_V-X_U,\;Y_V-Y_U\bigr) medido a partir do Norte, com conversão para o formato “N x x^\circxx′ E/O” ou “S x x^\circxx′ E/O”.

Resposta

a) X_P\approx3165{,}8\;{\rm m},\;Y_P\approx4220{,}0\;{\rm m}.
b) BP\approx633{,}0\;{\rm m},\quad CP\approx852{,}5\;{\rm m}.
c) rumos (de P \toA, P \toB, P \toC, C \toP, B \toP):
r_{PA}=N66^\circ20\text{′}W,\quad r_{PB}=N23^\circ50\text{′}W,\quad r_{PC}=N11^\circ58\text{′}E, r_{CP}=S11^\circ58\text{′}W,\quad r_{BP}=S23^\circ50\text{′}E.
d) X_C=3341{,}66\;{\rm m},\;Y_C=5053{,}71\;{\rm m}.

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