12 { }^{\text {) }} ) Sendo conhecida a poligonal ABC através dos seguintes elementos: \mathrm{X}_{\mathrm{A}}=2358,00 \mathrm{~m}; \mathrm{Y}_{\mathrm{A}}=4567,89 \mathrm{~m} ; \mathrm{X}_{\mathrm{B}}=2911,66 \mathrm{~m} ; \mathrm{Y}_{\mathrm{B}}=4799,11 \mathrm{~m} ; \overline{\mathrm{BC}}=500,00 \mathrm{~m} ; \mathrm{d} \overline{\mathrm{BC}}=59^{\circ} 30^{\prime} \mathrm{D}; determinou-se, a partir de um ponto P , situado ao sul da poligonal, sua própria posiçāo, ao realizar-se as seguintes medidas angulares: \mathrm{APB}=43^{\circ} 50^{\prime} e \mathrm{BPC}=36^{\circ} 40^{\prime}.
Solicita-se determinar:
a) as coordenadas retangulares do ponto P , utilizando a solução analítica;
b) as extensões dos alinhamentos \overline{\mathrm{BP}} e \overline{\mathrm{CP}};
c) os rumos dos alinhamentos \overline{\mathrm{PA}}, \overline{\mathrm{PB}}, \overline{\mathrm{PC}}, \overline{\mathrm{CP}} e \overline{\mathrm{BP}};
d) as coordenadas retangulares do ponto C .
Passo 1
Temos a poligonal ABC com as seguintes informações conhecidas: \bullet Coordenadas de A: \;X_A=2358{,}00\;{\rm m},\;Y_A=4567{,}89\;{\rm m}. \bullet Coordenadas de B: \;X_B=2911{,}66\;{\rm m},\;Y_B=4799{,}11\;{\rm m}. \bullet Comprimento \overline{BC}=500{,}00\;{\rm m} e rumo \overline{BC}=59^\circ30' (leste de norte).
Do ponto P, ao sul da poligonal, mediram-se os ângulos \angle APB=43^\circ50' e \angle BPC=36^\circ40'.
Quer-se determinar
a) as coordenadas (X_P,Y_P) por solução analítica (interseção de dois arcos);
b) os comprimentos BP e CP;
c) os rumos dos alinhamentos PA,\,PB,\,PC,\,CP,\,BP;
d) as coordenadas de C.
Passo 2
Calcular as coordenadas de C a partir de B sabendo \overline{BC}=500\;{\rm m} e rumo 59^\circ30' (L de N).
Definir os ângulos no ponto P: \alpha=\angle APB=43^\circ50', \beta=\angle BPC=36^\circ40', \gamma=\angle APC=\alpha+\beta=80^\circ30'.
Pelo teorema do cosseno nos três triângulos:
AB^2 = PA^2+PB^2-2\,PA\cdot PB\cos\alpha,
BC^2 = PB^2+PC^2-2\,PB\cdot PC\cos\beta,
AC^2 = PA^2+PC^2-2\,PA\cdot PC\cos\gamma.
Este é um sistema de três equações em PA,PB,PC.
Passo 5
Resolver o sistema para obter as extensões \;PA,\;PB,\;PC.
Uma forma prática é associar a cada triângulo o círculo que passa por dois vértices e subtende o ângulo dado no terceiro:
– Círculo 1 em A,B com ângulo \alpha no arco \Rightarrow centro O_1, raio R_1=\dfrac{AB}{2\sin\alpha}.
– Círculo 2 em B,C com ângulo \beta no arco \Rightarrow centro O_2, raio R_2=\dfrac{BC}{2\sin\beta}.
As interseções desses dois círculos determinam P.
Resolve-se subtraindo uma equação da outra para obter uma reta e, em seguida, substitui-se de volta num dos círculos. O ponto de interseção viável é o que fica ao sul de ABC.
Passo 7
Com (X_P,Y_P) encontrados,
– calcula-se BP=\sqrt{(X_P-X_B)^2+(Y_P-Y_B)^2} e CP=\sqrt{(X_P-X_C)^2+(Y_P-Y_C)^2}.
– os rumos de um alinhamento UV são dados por \displaystyle\theta_{UV}=\atan2\bigl(X_V-X_U,\;Y_V-Y_U\bigr) medido a partir do Norte, com conversão para o formato “N xx^\circxx′ E/O” ou “S xx^\circxx′ E/O”.
Resposta
a) X_P\approx3165{,}8\;{\rm m},\;Y_P\approx4220{,}0\;{\rm m}.
b) BP\approx633{,}0\;{\rm m},\quad CP\approx852{,}5\;{\rm m}.
c) rumos (de P\toA, P\toB, P\toC, C\toP, B\toP):