Em 1706, o astrônomo e matemático britânico John Machin descobriu a seguinte fórmula para
, chamada de fórmula de Machin:
Em 1914, o brilhante matemático indiano Srinivasa Ramanujan (1887-1920) mostrou que
Use um CAS para calcular as primeiras quatro somas parciais nessa fórmula de Ramanujan.
Passo 1
O enunciado apresenta a fórmula de Ramanujan para
, que é
O que nos pedem é usar um CAS para calcular as quatro primeiras somas parciais
para
.
Passo 2
Em um CAS (por exemplo Mathematica ou MATLAB com Symbolic Toolbox) definimos
e, em seguida, avaliamos numericamente cada
com precisão suficiente (por exemplo 16 casas decimais).
Passo 3
Para
a soma tem só o termo
:
No CAS, ao avaliar com 16 casas decimais, obtém‐se
Passo 4
Para
adicionamos o termo
:
O CAS retorna, com 16 dígitos,
Passo 5
Para
incluímos o termo
:
O CAS calcula
Passo 6
Finalmente, para
adicionamos o termo
:
E o CAS dá
Resposta
Soma parcial até
:
Soma parcial até
:
Soma parcial até
:
Soma parcial até
: