P. 172 No lançamento oblíquo de um projétil, a altura máxima é 20 m . No ponto mais alto da trajetória, a velocidade escalar do projétil é
. Desprezando a resistência do ar e adotando
, determine:
a) o tempo total do movimento e o tempo de subida;
b) a velocidade escalar de lançamento;
c) o ângulo de tiro expresso por uma de suas funções trigonométricas;
a) o tempo total do movimento e o tempo de subida;
b) a velocidade escalar de lançamento;
c) o ângulo de tiro expresso por uma de suas funções trigonométricas;
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
Perguntas:
a) determinar o tempo total do movimento e o tempo de subida;
b) determinar a velocidade escalar de lançamento;
c) expressar o ângulo de tiro por uma de suas funções trigonométricas.
a) determinar o tempo total do movimento e o tempo de subida;
b) determinar a velocidade escalar de lançamento;
c) expressar o ângulo de tiro por uma de suas funções trigonométricas.
Passo 2
Observação física importante (explicação didática): num lançamento oblíquo, separa-se o movimento em componentes horizontal e vertical. A componente horizontal da velocidade, que chamamos de
, é constante (pois desprezamos resistência do ar). A componente vertical,
, varia devido à aceleração da gravidade
para baixo. No ponto mais alto da trajetória a componente vertical é zero:
. Portanto, a velocidade escalar no ponto mais alto é só a componente horizontal. Assim:
Expliquei: peguei esse valor a partir do dado “velocidade no ponto mais alto = 5 m/s”, porque aí
e a velocidade total é
.
Passo 3
Fórmula para a altura máxima (aula curtinha): a relação cinemática que liga velocidade vertical e deslocamento vertical é
onde
é a velocidade vertical em um instante,
é a componente vertical inicial,
é a aceleração da gravidade e
é o deslocamento vertical (positiva para cima). No ponto mais alto temos
e
, logo
Dessa fórmula isolamos
:
Substituindo os números:
Expliquei o que cada símbolo significa:
é a componente vertical da velocidade no instante de lançamento (para cima). Usei a fórmula cinemática básica que se aprende ao estudar movimento uniformemente variado.
Passo 4
Tempo de subida (aula curta): a componente vertical varia segundo
No instante de altura máxima
, então o tempo de subida
satisfaz
Substituindo
e
:
Tempo total do movimento: o movimento é simétrico (subida e descida têm mesma duração, desprezando resistência do ar), então
Expliquei por que dobramos: pela simetria do movimento vertical com aceleração constante.
Passo 5
Velocidade de lançamento (como obter passo a passo): a velocidade inicial
tem componentes
(horizontal) e
(vertical). A relação entre a magnitude
e as componentes é o teorema de Pitágoras:
Já achamos
e
. Logo
Expliquei: usei a decomposição vetorial e o teorema de Pitágoras para encontrar a magnitude da velocidade inicial.
Passo 6
Ângulo de lançamento expresso por uma função trigonométrica: as componentes e o ângulo
satisfazem
A forma mais direta é usar a tangente:
Também, se quiser relacionar com seno e cosseno:
Mas como o enunciado pede o ângulo expresso por uma de suas funções trigonométricas, a resposta simples e direta é
Resposta
a)
,
b) (aprox.
)
c)
b)
c)