P. 172 No lançamento oblíquo de um projétil, a altura máxima é 20 m . No ponto mais alto da trajetória, a velocidade escalar do projétil é 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Desprezando a resistência do ar e adotando g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine:
a) o tempo total do movimento e o tempo de subida;
b) a velocidade escalar de lançamento;
c) o ângulo de tiro expresso por uma de suas funções trigonométricas;

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
H=20\text{ m (altura máxima)},\qquad \text{velocidade escalar no ponto mais alto}=5\\ \text{m/s},\qquad g=10\\ \text{m/s}^2.á
Perguntas:
a) determinar o tempo total do movimento e o tempo de subida;
b) determinar a velocidade escalar de lançamento;
c) expressar o ângulo de tiro por uma de suas funções trigonométricas.

Passo 2

Observação física importante (explicação didática): num lançamento oblíquo, separa-se o movimento em componentes horizontal e vertical. A componente horizontal da velocidade, que chamamos de v_x, é constante (pois desprezamos resistência do ar). A componente vertical, v_y, varia devido à aceleração da gravidade g para baixo. No ponto mais alto da trajetória a componente vertical é zero: v_y=0. Portanto, a velocidade escalar no ponto mais alto é só a componente horizontal. Assim:
v_x=5\\ \text{m/s}.
Expliquei: peguei esse valor a partir do dado “velocidade no ponto mais alto = 5 m/s”, porque aí v_y=0 e a velocidade total é v_x.

Passo 3

Fórmula para a altura máxima (aula curtinha): a relação cinemática que liga velocidade vertical e deslocamento vertical é
v_y^2 = v_{y0}^2 - 2g\Delta y,
onde v_y é a velocidade vertical em um instante, v_{y0} é a componente vertical inicial, g é a aceleração da gravidade e \Delta y é o deslocamento vertical (positiva para cima). No ponto mais alto temos v_y=0 e \Delta y=H, logo
0 = v_{y0}^2 - 2gH \quad\Rightarrow\quad H=\frac{v_{y0}^2}{2g}.
Dessa fórmula isolamos v_{y0}:
v_{y0}=\sqrt{2gH}.
Substituindo os números:
v_{y0}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 20}=\sqrt{400}=20\\ \text{m/s}.
Expliquei o que cada símbolo significa: v_{y0} é a componente vertical da velocidade no instante de lançamento (para cima). Usei a fórmula cinemática básica que se aprende ao estudar movimento uniformemente variado.

Passo 4

Tempo de subida (aula curta): a componente vertical varia segundo
v_y = v_{y0} - g t.
No instante de altura máxima v_y=0, então o tempo de subida t_{\text{up}} satisfaz
0 = v_{y0} - g t_{\text{up}}\quad\Rightarrow\quad t_{\text{up}}=\frac{v_{y0}}{g}.
Substituindo v_{y0}=20\\ \text{m/s} e g=10\\ \text{m/s}^2:
t_{\text{up}}=\frac{20}{10}=2\\ \text{s}.
Tempo total do movimento: o movimento é simétrico (subida e descida têm mesma duração, desprezando resistência do ar), então
t_{\text{total}}=2t_{\text{up}}=2\cdot 2=4\\ \text{s}.
Expliquei por que dobramos: pela simetria do movimento vertical com aceleração constante.

Passo 5

Velocidade de lançamento (como obter passo a passo): a velocidade inicial v_0 tem componentes v_x (horizontal) e v_{y0} (vertical). A relação entre a magnitude v_0 e as componentes é o teorema de Pitágoras:
v_0=\sqrt{v_x^2+v_{y0}^2}.
Já achamos v_x=5\\ \text{m/s} e v_{y0}=20\\ \text{m/s}. Logo
v_0=\sqrt{5^2+20^2}=\sqrt{25+400}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}\\ \text{m/s}\approx 20{,}62\\ \text{m/s}.
Expliquei: usei a decomposição vetorial e o teorema de Pitágoras para encontrar a magnitude da velocidade inicial.

Passo 6

Ângulo de lançamento expresso por uma função trigonométrica: as componentes e o ângulo \theta satisfazem
\tan\theta=\frac{v_{y0}}{v_x},\qquad \sin\theta=\frac{v_{y0}}{v_0},\qquad \cos\theta=\frac{v_x}{v_0}.
A forma mais direta é usar a tangente:
\tan\theta=\frac{v_{y0}}{v_x}=\frac{20}{5}=4.
Também, se quiser relacionar com seno e cosseno:
\sin\theta=\frac{20}{5\sqrt{17}}=\frac{4}{\sqrt{17}},\qquad \cos\theta=\frac{5}{5\sqrt{17}}=\frac{1}{\sqrt{17}}.
Mas como o enunciado pede o ângulo expresso por uma de suas funções trigonométricas, a resposta simples e direta é
\tan\theta=4.

Resposta

a) t_{\text{total}}=4\\ \text{s}, t_{\text{up}}=2\\ \text{s}
b) v_0=5\sqrt{17}\\ \text{m/s} (aprox. 20{,}62\\ \text{m/s})
c) \tan\theta=4

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