P. 167 Um avião voa horizontalmente a 2.000 m de altura com velocidade de
no instante em que abandona um pacote. Adote
e despreze a ação do ar. Determine:
a) o tempo de queda do pacote;
b) a distância que o pacote percorre na direção horizontal desde o lançamento até o instante em que atinge o solo;
c) o módulo da velocidade do pacote ao atingir o solo.
a) o tempo de queda do pacote;
b) a distância que o pacote percorre na direção horizontal desde o lançamento até o instante em que atinge o solo;
c) o módulo da velocidade do pacote ao atingir o solo.
Passo 1
O enunciado dá um avião que voa horizontalmente a uma altura de
e, no instante em que solta um pacote, a velocidade horizontal do pacote é
. Adote
e despreze resistência do ar. As perguntas são:
- (a) Determinar o tempo de queda do pacote (tempo até atingir o solo).
- (b) Determinar a distância percorrida na direção horizontal desde o lançamento até o impacto.
- (c) Determinar o módulo da velocidade do pacote ao atingir o solo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Altura inicial:
. - Velocidade horizontal inicial:
. - Velocidade vertical inicial:
(o avião voa horizontalmente). - Aceleração vertical:
(sinal negativo para baixo). - Não há aceleração horizontal (despreza-se o ar):
.
Passo 2
Conceito-chave e estratégia (explicado devagarinho):
- Em lançamentos como este, os movimentos horizontal e vertical são independentes: a aceleração vertical (gravidade) não afeta o movimento horizontal e vice-versa. Isso significa que podemos tratar separadamente:
- Movimento vertical: queda livre com aceleração constante
. - Movimento horizontal: movimento retilíneo uniforme com velocidade constante
.
- Movimento vertical: queda livre com aceleração constante
- Fórmulas básicas de cinemática (com variáveis explicadas):
- Posição vertical em função do tempo:
onde é a altura inicial, é a velocidade vertical inicial e é a aceleração da gravidade. - Velocidade vertical em função do tempo:
- Posição horizontal em função do tempo (velocidade constante):
onde é a componente horizontal da velocidade (aqui constante).
- Posição vertical em função do tempo:
- Usaremos essas fórmulas para achar primeiro o tempo de queda (colocando
igual ao solo), depois a distância horizontal e por fim a velocidade resultante no instante do impacto.
Passo 3
Calcular o tempo de queda usando o movimento vertical. Escolhemos a origem vertical tal que
e o solo em
. Como
, a equação da posição vertical fica:
Isolando
obtemos a fórmula clássica para tempo de queda a partir do repouso vertical:
Passo 4
Substituir os valores numéricos para obter
. Usamos
e
:
Comentário prático: o resultado é um número redondo porque escolhemos
, o que facilita contas de prova sem calculadora.
Passo 5
Calcular a distância horizontal percorrida. No movimento horizontal a velocidade é constante e igual a
, então:
Substituindo
:
Explicação extra: como não há aceleração horizontal, basta multiplicar velocidade pelo tempo; isso é rápido de fazer numa prova.
Passo 6
Calcular o módulo da velocidade no impacto. Primeiro obtemos as componentes da velocidade no instante
:
- Componente horizontal (constante):
- Componente vertical (da fórmula
, com ): onde o sinal negativo indica que a velocidade tem direção para baixo. A magnitude da componente vertical é .
Agora o módulo da velocidade resultante usa o teorema de Pitágoras (velocidade resultante é vetor soma das componentes ortogonais):
Substituindo valores:
Dica prática: em prova pode arredondar para
se pedirem três algarismos significativos.
Passo 7
Verificação rápida de plausibilidade e unidades:
- Tempo
faz sentido para uma queda de sem ar. - Distância horizontal
condiz com velocidade alta do avião. - Velocidade resultante
é maior que a componente horizontal por causa da contribuição vertical significativa.
Boa! Agora você tem resultados numéricos e também sabe a origem de cada fórmula — dá pra aplicar direto em questões semelhantes na prova.