P. 167 Um avião voa horizontalmente a 2.000 m de altura com velocidade de 250 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no instante em que abandona um pacote. Adote g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e despreze a ação do ar. Determine:
a) o tempo de queda do pacote;
b) a distância que o pacote percorre na direção horizontal desde o lançamento até o instante em que atinge o solo;
c) o módulo da velocidade do pacote ao atingir o solo.

Passo 1

O enunciado dá um avião que voa horizontalmente a uma altura de \,2000\\ \mathrm{m}\, e, no instante em que solta um pacote, a velocidade horizontal do pacote é \,250\\ \mathrm{m/s}\,. Adote g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} e despreze resistência do ar. As perguntas são:
  • (a) Determinar o tempo de queda do pacote (tempo até atingir o solo).
  • (b) Determinar a distância percorrida na direção horizontal desde o lançamento até o impacto.
  • (c) Determinar o módulo da velocidade do pacote ao atingir o solo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Altura inicial: \,h=2000\\ \mathrm{m}\,.
  • Velocidade horizontal inicial: \,v_{0x}=250\\ \mathrm{m/s}\,.
  • Velocidade vertical inicial: \,v_{0y}=0\\ \mathrm{m/s}\, (o avião voa horizontalmente).
  • Aceleração vertical: \,a_y=-g=-10\\ \mathrm{m/s^{2}} (sinal negativo para baixo).
  • Não há aceleração horizontal (despreza-se o ar): \,a_x=0.

Passo 2

Conceito-chave e estratégia (explicado devagarinho):
  • Em lançamentos como este, os movimentos horizontal e vertical são independentes: a aceleração vertical (gravidade) não afeta o movimento horizontal e vice-versa. Isso significa que podemos tratar separadamente:
    • Movimento vertical: queda livre com aceleração constante -g.
    • Movimento horizontal: movimento retilíneo uniforme com velocidade constante v_{0x}.
  • Fórmulas básicas de cinemática (com variáveis explicadas):
    • Posição vertical em função do tempo: y(t)=y_0+v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2,onde y_0 é a altura inicial, v_{0y} é a velocidade vertical inicial e g é a aceleração da gravidade.
    • Velocidade vertical em função do tempo: v_y(t)=v_{0y}-gt.
    • Posição horizontal em função do tempo (velocidade constante): x(t)=x_0+v_{0x}t,onde v_{0x} é a componente horizontal da velocidade (aqui constante).
  • Usaremos essas fórmulas para achar primeiro o tempo de queda (colocando y(t) igual ao solo), depois a distância horizontal e por fim a velocidade resultante no instante do impacto.

Passo 3

Calcular o tempo de queda usando o movimento vertical. Escolhemos a origem vertical tal que y_0=h e o solo em y=0. Como v_{0y}=0, a equação da posição vertical fica:
0 = h + 0\cdot t - \tfrac{1}{2} g t^2 = h - \tfrac{1}{2} g t^2.
Isolando t obtemos a fórmula clássica para tempo de queda a partir do repouso vertical:
t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos para obter t. Usamos h=2000\\ \mathrm{m} e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}:
t = \sqrt{\dfrac{2\cdot 2000}{10}} = \sqrt{\dfrac{4000}{10}} = \sqrt{400} = 20\\ \mathrm{s}.
Comentário prático: o resultado é um número redondo porque escolhemos g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}, o que facilita contas de prova sem calculadora.

Passo 5

Calcular a distância horizontal percorrida. No movimento horizontal a velocidade é constante e igual a v_{0x}=250\\ \mathrm{m/s}, então:
x = v_{0x}\,t.
Substituindo t=20\\ \mathrm{s}:
x = 250\cdot 20 = 5000\\ \mathrm{m} = 5\\ \mathrm{km}.
Explicação extra: como não há aceleração horizontal, basta multiplicar velocidade pelo tempo; isso é rápido de fazer numa prova.

Passo 6

Calcular o módulo da velocidade no impacto. Primeiro obtemos as componentes da velocidade no instante t:
  • Componente horizontal (constante): v_x = v_{0x} = 250\\ \mathrm{m/s}.
  • Componente vertical (da fórmula v_y(t)=v_{0y}-gt, com v_{0y}=0): v_y = -g t = -10\cdot 20 = -200\\ \mathrm{m/s},onde o sinal negativo indica que a velocidade tem direção para baixo. A magnitude da componente vertical é 200\\ \mathrm{m/s}.
    Agora o módulo da velocidade resultante usa o teorema de Pitágoras (velocidade resultante é vetor soma das componentes ortogonais):
v = \sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
Substituindo valores:
v = \sqrt{250^{2}+(-200)^{2}} = \sqrt{62500+40000} = \sqrt{102500}\approx 320,16\\ \mathrm{m/s}.
Dica prática: em prova pode arredondar para 320\\ \mathrm{m/s} se pedirem três algarismos significativos.

Passo 7

Verificação rápida de plausibilidade e unidades:
  • Tempo 20\\ \mathrm{s} faz sentido para uma queda de 2{,}0\\ \mathrm{km} sem ar.
  • Distância horizontal 5{,}0\\ \mathrm{km} condiz com velocidade alta do avião.
  • Velocidade resultante \approx 320\\ \mathrm{m/s} é maior que a componente horizontal por causa da contribuição vertical significativa.
    Boa! Agora você tem resultados numéricos e também sabe a origem de cada fórmula — dá pra aplicar direto em questões semelhantes na prova.

Resposta

\text{(a) } t=20\\ \mathrm{s}
\text{(b) } x=5000\\ \mathrm{m}
\text{\text{(c)} } v\approx 320{,}16\\ \mathrm{m/s}

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