O calor específico dos gases ideais monoatômicos não depende da temperatura. Considere um mol de gás hélio, inicialmente à temperatura de 300 K . O gás recebe 400 cal de calor em um processo isométrico e sua temperatura se eleva para 434 K . O gás é novamente resfriado a 300 K e após isso recebe 400 cal , desta vez em processo isobárico. Qual é sua temperatura final?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
- Temos
mol de gás hélio (gás monoatômico). - Estado inicial: temperatura
. - Primeiro processo: aquecimento isométrico (volume constante) que fornece
e a temperatura sobe para . - Em seguida o gás é resfriado novamente até
(volta ao estado inicial de temperatura). - Depois recebe outra vez
, agora em um processo isobárico (pressão constante). - Pergunta: qual é a temperatura final do gás após esse segundo aquecimento isobárico?
Passo 2
Conceitos úteis (vou explicar devagar, como se a gente estivesse estudando junto):
- Capacidade térmica molar a volume constante
: é a quantidade de calor por mol necessária para aumentar em uma unidade a temperatura quando o volume é fixo. Em fórmulas:
Aqui
é o calor trocado no processo isométrico,
é o número de mols,
tem unidades de
, e
é a variação de temperatura.
- Capacidade térmica molar a pressão constante
: é a quantidade de calor por mol necessária para aumentar em uma unidade a temperatura quando a pressão é constante:
- Para um gás ideal vale a relação (lei bem importante):
onde
é a constante universal dos gases. Em unidades de calororias,
(vou arredondar quando for necessário).
- Para um gás monoatômico ideal (como o hélio, no modelo ideal), a teoria (mecânica estatística / teoria dos gases ideais) dá:
Mas aqui podemos também usar os dados do enunciado para verificar/obter
numericamente — e é o que faremos, porque assim fica mais direto e sem suposições extras.
Passo 3
Usar o aquecimento isométrico dado para calcular
(ou pelo menos obter um valor numérico consistente):
- No primeiro processo isométrico temos
, e a variação de temperatura
Tudo isso em TeX:
.
- Pela fórmula do isocoro:
Substituindo os números:
- Observação didática: esse valor bate com a fórmula teórica
. Se quisermos, podemos achar por:
que é praticamente o valor conhecido
. Ótimo — nossos números estão coerentes.
Passo 4
Calcular
necessário para o processo isobárico:
- Usando a relação
. Com os valores numéricos que obtivemos:
(ou, usando a fórmula teórica,
, dá valor próximo, mesma coisa.)
Passo 5
Aplicar a fórmula do processo isobárico para achar a variação de temperatura no segundo aquecimento:
- No processo isobárico temos
. Isolando :
Substituindo
,
e
calculado:
(Arredondei com cuidado — fica aproximadamente
.)
Passo 6
Calcular a temperatura final somando a variação ao estado inicial (após o resfriamento, o gás estava em
):
Vou arredondar a resposta de forma razoável (dados iniciais com 3 algarismos significativos em temperaturas e
com 3 algarismos):
(ou aproximadamente
se preferir arredondar para inteiro).