O calor específico dos gases ideais monoatômicos não depende da temperatura. Considere um mol de gás hélio, inicialmente à temperatura de 300 K . O gás recebe 400 cal de calor em um processo isométrico e sua temperatura se eleva para 434 K . O gás é novamente resfriado a 300 K e após isso recebe 400 cal , desta vez em processo isobárico. Qual é sua temperatura final?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Temos \,1 mol de gás hélio (gás monoatômico).
  • Estado inicial: temperatura \,T_i=300\\ \text{K}.
  • Primeiro processo: aquecimento isométrico (volume constante) que fornece \,Q_1=400\\ \text{cal} e a temperatura sobe para \,T_2=434\\ \text{K}.
  • Em seguida o gás é resfriado novamente até \,300\\ \text{K} (volta ao estado inicial de temperatura).
  • Depois recebe outra vez \,Q_2=400\\ \text{cal}, agora em um processo isobárico (pressão constante).
  • Pergunta: qual é a temperatura final do gás após esse segundo aquecimento isobárico?

Passo 2

Conceitos úteis (vou explicar devagar, como se a gente estivesse estudando junto):
  • Capacidade térmica molar a volume constante \,C_V: é a quantidade de calor por mol necessária para aumentar em uma unidade a temperatura quando o volume é fixo. Em fórmulas:
Q_{\text{isoc}} = n\,C_V\,\Delta T.
Aqui Q_{\text{isoc}} é o calor trocado no processo isométrico, n é o número de mols, C_V tem unidades de \text{cal}/(\text{mol}\cdot\text{K}), e \Delta T é a variação de temperatura.
  • Capacidade térmica molar a pressão constante \,C_P: é a quantidade de calor por mol necessária para aumentar em uma unidade a temperatura quando a pressão é constante:
Q_{\text{isob}} = n\,C_P\,\Delta T.
  • Para um gás ideal vale a relação (lei bem importante):
C_P - C_V = R,
onde R é a constante universal dos gases. Em unidades de calororias, \,R\approx 1,987\\ \text{cal}/(\text{mol}\cdot\text{K}) (vou arredondar quando for necessário).
  • Para um gás monoatômico ideal (como o hélio, no modelo ideal), a teoria (mecânica estatística / teoria dos gases ideais) dá:
C_V = \tfrac{3}{2}R,\qquad C_P = \tfrac{5}{2}R.
Mas aqui podemos também usar os dados do enunciado para verificar/obter C_V numericamente — e é o que faremos, porque assim fica mais direto e sem suposições extras.

Passo 3

Usar o aquecimento isométrico dado para calcular C_V (ou pelo menos obter um valor numérico consistente):
  • No primeiro processo isométrico temos n=1, Q_1=400\\ \text{cal} e a variação de temperatura
\Delta T_1 = T_2 - T_i = 434 - 300 = 134\\ \text{K}.
Tudo isso em TeX: \Delta T_1=134\\ \text{K}.
  • Pela fórmula do isocoro:
Q_1 = n\,C_V\,\Delta T_1 \implies C_V = \frac{Q_1}{n\,\Delta T_1}.
Substituindo os números:
C_V = \frac{400}{1\cdot 134}\\ \text{cal}/(\text{mol}\cdot\text{K}) \approx 2,98507\\ \text{cal}/(\text{mol}\cdot\text{K}).
  • Observação didática: esse valor bate com a fórmula teórica \,C_V=\tfrac{3}{2}R. Se quisermos, podemos achar R por:
R=\frac{2}{3}C_V \approx \frac{2}{3}\cdot 2,98507 \approx 1,99005\\ \text{cal}/(\text{mol}\cdot\text{K}),
que é praticamente o valor conhecido \,1,987\\ \text{cal}/(\text{mol}\cdot\text{K}). Ótimo — nossos números estão coerentes.

Passo 4

Calcular C_P necessário para o processo isobárico:
  • Usando a relação C_P = C_V + R. Com os valores numéricos que obtivemos:
C_P = 2,98507 + 1,99005 \approx 4,97512\\ \text{cal}/(\text{mol}\cdot\text{K}).
(ou, usando a fórmula teórica, C_P=\tfrac{5}{2}R, dá valor próximo, mesma coisa.)

Passo 5

Aplicar a fórmula do processo isobárico para achar a variação de temperatura no segundo aquecimento:
  • No processo isobárico temos Q_2 = n\,C_P\,\Delta T_2. Isolando \Delta T_2:
\Delta T_2 = \frac{Q_2}{n\,C_P}.
Substituindo Q_2=400\\ \text{cal}, n=1 e C_P calculado:
\Delta T_2 = \frac{400}{1\cdot 4,97512}\\ \text{K} \approx 80,414\\ \text{K}.
(Arredondei com cuidado — fica aproximadamente \,80,4\\ \text{K}.)

Passo 6

Calcular a temperatura final somando a variação ao estado inicial (após o resfriamento, o gás estava em \,300\\ \text{K}):
T_{\text{final}} = 300\\ \text{K} + \Delta T_2 \approx 300 + 80,414 \approx 380,414\\ \text{K}.
Vou arredondar a resposta de forma razoável (dados iniciais com 3 algarismos significativos em temperaturas e Q com 3 algarismos): \,T_{\text{final}}\approx 380,4\\ \text{K} (ou aproximadamente \,381\\ \text{K} se preferir arredondar para inteiro).

Resposta

T_{\text{final}}\approx 380,4\\ \text{K}

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